Chào các em học sinh yêu quý của cô! Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau chinh phục một bài toán lượng giác khá quen thuộc trong chương trình Toán lớp 11. Cô sẽ hướng dẫn các em giải bài toán sau:

sin x + 2 cos x = 2

Chúng ta sẽ đi theo từng bước thật cẩn thận nhé!

Bước 1: Nhận dạng dạng toán và lựa chọn phương pháp giải.

Các em nhìn vào phương trình: sin x + 2 cos x = 2. Chúng ta thấy phương trình có dạng tổng của sin x và cos x, với các hệ số khác nhau. Dạng này thường được gọi là phương trình lượng giác bậc nhất đối với sin x và cos x. Phương pháp hiệu quả nhất để giải dạng này là đưa về phương trình dạng sin(x + \alpha) hoặc cos(x – \alpha).

Bước 2: Chia hai vế cho một hệ số thích hợp.

Để đưa về dạng sin(x + \alpha), chúng ta cần chuẩn hóa các hệ số của sin x và cos x. Chúng ta sẽ chia cả hai vế của phương trình cho \(\sqrt{a^2 + b^2}\), trong đó a là hệ số của sin x và b là hệ số của cos x.

Trong bài toán này, a = 1 và b = 2.
Vậy, \(\sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}\).

Chia cả hai vế của phương trình cho \(\sqrt{5}\), ta được:
\[ \frac{1}{\sqrt{5}} \sin x + \frac{2}{\sqrt{5}} \cos x = \frac{2}{\sqrt{5}} \]

Bước 3: Đặt các hệ số mới thành giá trị lượng giác của một góc phụ.

Bây giờ, chúng ta cần tìm một góc \(\alpha\) sao cho:
\[ \cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{5}} \quad \text{và} \quad \sin \alpha = \frac{2}{\sqrt{5}} \]
Hoặc ngược lại, tìm một góc \(\beta\) sao cho:
\[ \sin \beta = \frac{1}{\sqrt{5}} \quad \text{và} \quad \cos \beta = \frac{2}{\sqrt{5}} \]

Trong cách tiếp cận thứ nhất, chúng ta sẽ sử dụng công thức cộng cho sin:
sin(x + \alpha) = sin x cos \alpha + cos x sin \alpha

Ta đã có \(\cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{5}}\) và \(\sin \alpha = \frac{2}{\sqrt{5}}\). Vì cả sin \(\alpha\) và cos \(\alpha\) đều dương, nên \(\alpha\) nằm trong góc phần tư thứ nhất. Chúng ta có thể tìm một giá trị \(\alpha\) cụ thể hoặc chỉ cần biết sự tồn tại của nó.

Khi đó, phương trình trở thành:
\[ \cos \alpha \sin x + \sin \alpha \cos x = \frac{2}{\sqrt{5}} \]
\[ \sin(x + \alpha) = \frac{2}{\sqrt{5}} \]
với \(\cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{5}}\) và \(\sin \alpha = \frac{2}{\sqrt{5}}\).

Bước 4: Giải phương trình lượng giác cơ bản.

Bây giờ, chúng ta có phương trình dạng \(\sin(X) = c\), với \(X = x + \alpha\) và \(c = \frac{2}{\sqrt{5}}\).

Trước hết, chúng ta cần kiểm tra xem phương trình này có nghiệm hay không. Điều kiện để phương trình \(\sin(X) = c\) có nghiệm là \(-1 \le c \le 1\).

Ở đây, \(c = \frac{2}{\sqrt{5}}\). Ta có \(\sqrt{5}\) lớn hơn 2 (vì \(5 > 4\)). Do đó, \(0 < \frac{2}{\sqrt{5}} < 1\). Vậy phương trình có nghiệm. Ta sẽ sử dụng arcsin để biểu diễn nghiệm. Gọi \(\alpha_0\) là một giá trị thỏa mãn \(\sin(\alpha_0) = \frac{2}{\sqrt{5}}\). Giá trị \(\alpha_0\) này chính là góc \(\alpha\) mà chúng ta đã tìm ở Bước 3. Tuy nhiên, để tránh nhầm lẫn, cô sẽ kí hiệu góc này là \(\alpha_0\). Vậy, \(\sin(\alpha_0) = \frac{2}{\sqrt{5}}\). Nghiệm của phương trình \(\sin(x + \alpha_0) = \sin(\alpha_0)\) sẽ là: Trường hợp 1: \[ x + \alpha_0 = \alpha_0 + k2\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \] \[ x = k2\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \] Trường hợp 2: \[ x + \alpha_0 = \pi - \alpha_0 + k2\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \] \[ x = \pi - 2\alpha_0 + k2\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \] Bước 5: Kiểm tra lại và kết luận.

Chúng ta quay lại với cách đặt \(\cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{5}}\) và \(\sin \alpha = \frac{2}{\sqrt{5}}\).
Khi đó, \(\alpha\) chính là \(\alpha_0\) ở trên.

Vậy, hai họ nghiệm của phương trình là:
1. \(x = k2\pi, \quad k \in \mathbb{Z}\)
2. \(x = \pi – 2\alpha + k2\pi, \quad k \in \mathbb{Z}\) với \(\alpha\) là góc thỏa mãn \(\cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{5}}\) và \(\sin \alpha = \frac{2}{\sqrt{5}}\).

Để ý rằng, ở Trường hợp 1, chúng ta thấy \(x=k2\pi\). Nếu thay vào phương trình ban đầu:
sin(k2\pi) + 2cos(k2\pi) = 0 + 2(1) = 2. Đúng.

Bây giờ, chúng ta xem xét Trường hợp 2.
Nếu \(x = \pi – 2\alpha + k2\pi\), thì:
\( \sin(x) = \sin(\pi – 2\alpha + k2\pi) = \sin(\pi – 2\alpha) = \sin(2\alpha) \)
\( \cos(x) = \cos(\pi – 2\alpha + k2\pi) = \cos(\pi – 2\alpha) = -\cos(2\alpha) \)

Ta có:
\( \sin(2\alpha) = 2 \sin \alpha \cos \alpha = 2 \left( \frac{2}{\sqrt{5}} \right) \left( \frac{1}{\sqrt{5}} \right) = \frac{4}{5} \)
\( \cos(2\alpha) = \cos^2 \alpha – \sin^2 \alpha = \left( \frac{1}{\sqrt{5}} \right)^2 – \left( \frac{2}{\sqrt{5}} \right)^2 = \frac{1}{5} – \frac{4}{5} = -\frac{3}{5} \)

Thay vào phương trình:
\( \sin x + 2 \cos x = \sin(2\alpha) + 2(-\cos(2\alpha)) = \frac{4}{5} + 2 \left( -(-\frac{3}{5}) \right) = \frac{4}{5} + 2 \left( \frac{3}{5} \right) = \frac{4}{5} + \frac{6}{5} = \frac{10}{5} = 2 \)
Đúng.

Vậy, tập nghiệm của phương trình là:
\( S = \{ k2\pi \mid k \in \mathbb{Z} \} \cup \{ \pi – 2\alpha + k2\pi \mid k \in \mathbb{Z} \} \)
trong đó \(\alpha\) là góc thỏa mãn \(\cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{5}}\) và \(\sin \alpha = \frac{2}{\sqrt{5}}\).

Các em có thể để nghiệm ở dạng này. Nếu cần giá trị cụ thể, chúng ta có thể dùng máy tính để tìm giá trị gần đúng của \(\alpha\). Ví dụ: \(\alpha \approx 63.4^\circ\) hoặc \(\alpha \approx 1.107\) radian.

Cô hy vọng với các bước trình bày chi tiết này, các em đã hiểu rõ cách giải bài toán này. Nếu có bất kỳ câu hỏi nào, đừng ngần ngại hỏi cô nhé! Chúc các em học tốt!