Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán cơ bản nhưng rất quan trọng trong chương trình lượng giác lớp 10, đó là phương trình \( \sin x = 1/2 \). Đồng thời, cô sẽ giải thích thật chi tiết vì sao \( 1/2 \) lại bằng \( \sin(\pi/6) \) nhé.

Chúng ta bắt đầu nào!

I. Giải phương trình \( \sin x = 1/2 \)

Để giải phương trình lượng giác cơ bản này, chúng ta cần nhớ công thức nghiệm tổng quát của phương trình \( \sin x = \sin \alpha \).

Bước 1: Tìm góc \( \alpha \) sao cho \( \sin \alpha = 1/2 \).
Ở đây, chúng ta cần tìm một góc mà giá trị sin của nó bằng \( 1/2 \).
Dựa vào các giá trị lượng giác của các góc đặc biệt (mà chúng ta đã học và có thể tra bảng hoặc nhớ), chúng ta biết rằng:
\( \sin(30^\circ) = 1/2 \)
Để làm việc với các đơn vị radian (theo chuẩn chương trình phổ thông và thường dùng trong các bài toán lượng giác), chúng ta cần chuyển đổi \( 30^\circ \) sang radian.
Ta có công thức chuyển đổi: \( \text{radian} = \text{độ} \times \frac{\pi}{180^\circ} \).
Vậy, \( 30^\circ = 30 \times \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{6} \) (radian).
Do đó, chúng ta có thể viết lại phương trình ban đầu là:
\[ \sin x = \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) \]

Bước 2: Áp dụng công thức nghiệm tổng quát.
Đối với phương trình \( \sin x = \sin \alpha \), công thức nghiệm tổng quát là:
\[ \left[ \begin{array}{l} x = \alpha + k2\pi \\ x = \pi – \alpha + k2\pi \end{array} \right. \]
trong đó \( k \) là một số nguyên (hay \( k \in \mathbb{Z} \)).

Áp dụng công thức này vào phương trình của chúng ta với \( \alpha = \frac{\pi}{6} \):
\[ \left[ \begin{array}{l} x = \frac{\pi}{6} + k2\pi \\ x = \pi – \frac{\pi}{6} + k2\pi \end{array} \right. \]

Bước 3: Rút gọn các nghiệm.
Đối với nghiệm thứ hai:
\( \pi – \frac{\pi}{6} = \frac{6\pi}{6} – \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6} \)

Vậy, tập nghiệm của phương trình \( \sin x = 1/2 \) là:
\[ \left[ \begin{array}{l} x = \frac{\pi}{6} + k2\pi \\ x = \frac{5\pi}{6} + k2\pi \end{array} \right. \]
với \( k \in \mathbb{Z} \).

II. Giải thích tại sao \( 1/2 \) lại bằng \( \sin(\pi/6) \)

Đây là một câu hỏi rất hay và cần được nắm vững để hiểu rõ bản chất của lượng giác!

Chúng ta sẽ giải thích dựa trên khái niệm về đường tròn lượng giác và tam giác vuông đặc biệt.

1. Dựa vào định nghĩa trên đường tròn lượng giác:
Đường tròn lượng giác là đường tròn đơn vị (bán kính bằng 1) tâm tại gốc tọa độ \( O(0;0) \).
Một góc lượng giác \( \alpha \) được xác định bởi tia đầu \( Ox \) và tia cuối \( OM \), với \( M \) là một điểm trên đường tròn đơn vị.
Khi đó, tọa độ của điểm \( M \) là \( (x_M; y_M) \), trong đó:
\( x_M = \cos \alpha \)
\( y_M = \sin \alpha \)

Bây giờ, chúng ta xét góc \( \alpha = \frac{\pi}{6} \) (tức là \( 30^\circ \)).
Khi vẽ góc \( \frac{\pi}{6} \) trên đường tròn lượng giác, tia \( OM \) sẽ tạo với trục \( Ox \) một góc \( 30^\circ \).
Để tìm tung độ \( y_M \) của điểm \( M \), chúng ta hạ đường vuông góc từ \( M \) xuống trục \( Ox \), gọi chân đường vuông góc là \( H \).
Khi đó, ta có tam giác vuông \( OMH \) vuông tại \( H \).
Trong tam giác vuông \( OMH \):
* Cạnh huyền \( OM = 1 \) (vì \( M \) nằm trên đường tròn đơn vị).
* Góc \( MOH = \frac{\pi}{6} \).
* Cạnh đối diện với góc \( MOH \) là \( MH = y_M = \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) \).

Theo định lý trong tam giác vuông, cạnh đối diện với góc \( 30^\circ \) bằng một nửa cạnh huyền.
Vì \( OM = 1 \), nên \( MH = \frac{1}{2} \times OM = \frac{1}{2} \times 1 = \frac{1}{2} \).
Vậy, \( \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = y_M = MH = \frac{1}{2} \).

2. Dựa vào tam giác vuông đặc biệt (tam giác vuông 30-60-90):
Chúng ta có thể nhớ các giá trị lượng giác của góc \( 30^\circ \) (\( \pi/6 \)) bằng cách dùng một tam giác vuông có các góc là \( 30^\circ \), \( 60^\circ \), \( 90^\circ \).
Hãy tưởng tượng một tam giác đều \( ABC \) có cạnh bằng 2.
Khi chúng ta kẻ đường cao \( AH \) từ đỉnh \( A \) xuống cạnh \( BC \), \( AH \) cũng là đường phân giác và đường trung tuyến.
Khi đó, tam giác \( ABH \) là một tam giác vuông tại \( H \).
Các góc của tam giác \( ABH \) là:
* \( \angle AHB = 90^\circ \)
* \( \angle ABH = 60^\circ \) (vì \( ABC \) là tam giác đều)
* \( \angle BAH = 30^\circ \) (vì \( AH \) là phân giác của \( \angle BAC = 60^\circ \))

Các cạnh của tam giác \( ABH \):
* Cạnh huyền \( AB = 2 \).
* Cạnh \( BH = \frac{1}{2} BC = \frac{1}{2} \times 2 = 1 \).
* Cạnh \( AH = \sqrt{AB^2 – BH^2} = \sqrt{2^2 – 1^2} = \sqrt{4 – 1} = \sqrt{3} \).

Bây giờ, chúng ta tính \( \sin(30^\circ) \) trong tam giác vuông \( ABH \):
\( \sin(\text{góc}) = \frac{\text{cạnh đối}}{\text{cạnh huyền}} \)
Đối với góc \( 30^\circ \) (tức \( \angle BAH \)):
* Cạnh đối là \( BH = 1 \).
* Cạnh huyền là \( AB = 2 \).
Vậy, \( \sin(30^\circ) = \frac{BH}{AB} = \frac{1}{2} \).

Và như chúng ta đã biết, \( 30^\circ \) tương ứng với \( \frac{\pi}{6} \) radian.
Do đó, \( \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = 1/2 \).

Cô hy vọng với phần giải thích chi tiết này, các em đã hiểu rõ hơn về cách giải phương trình lượng giác và đặc biệt là nguồn gốc của giá trị \( \sin(\pi/6) = 1/2 \). Đây là kiến thức nền tảng rất quan trọng, các em hãy ghi nhớ và luyện tập thêm nhé! Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, đừng ngần ngại hỏi cô!