Chào các em! Cô là giáo viên Toán lớp 11 đây. Bài toán hôm nay liên quan đến phương trình lượng giác và biểu diễn nghiệm trên đường tròn lượng giác. Chúng ta cùng nhau giải bài tập này nhé.

Đây là một câu hỏi trắc nghiệm khá phổ biến, yêu cầu xác định số điểm biểu diễn nghiệm của một phương trình lượng giác trên đường tròn lượng giác. Để giải bài này, chúng ta cần thực hiện các bước sau:

Bước 1: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình lượng giác.

Phương trình đã cho là tan(2x) = 1.
Chúng ta biết rằng, hàm tang có chu kỳ là π. Nếu tan(α) = tan(β), thì nghiệm tổng quát sẽ là α = β + kπ, với k là số nguyên.

Trong trường hợp này, chúng ta cần tìm giá trị α sao cho tan(α) = 1.
Ta biết rằng tan(π/4) = 1.
Do đó, phương trình tan(2x) = 1 tương đương với tan(2x) = tan(π/4).

Áp dụng công thức nghiệm tổng quát cho phương trình tan, ta có:
2x = π/4 + kπ, với k là số nguyên.

Để tìm x, chúng ta chia cả hai vế cho 2:
x = π/8 + kπ/2, với k là số nguyên.

Bước 2: Biểu diễn nghiệm trên đường tròn lượng giác.

Đường tròn lượng giác là một đường tròn có bán kính bằng 1, tâm trùng với gốc tọa độ, trục hoành là trục cosin và trục tung là trục sin. Mỗi cung lượng giác có độ dài xác định sẽ tương ứng với một điểm duy nhất trên đường tròn lượng giác.

Nghiệm tổng quát của chúng ta là x = π/8 + kπ/2. Chúng ta cần tìm số lượng điểm phân biệt mà các giá trị của x này biểu diễn trên đường tròn lượng giác.

Để làm điều này, chúng ta sẽ lần lượt cho k nhận các giá trị nguyên liên tiếp và xem các giá trị x tương ứng biểu diễn những điểm nào trên đường tròn. Chu kỳ của hàm tang là π, nhưng ở đây biến là 2x, nên ta xét nghiệm của 2x là π. Khi 2x quay một vòng (thay đổi π), thì x thay đổi π/2. Do đó, chúng ta chỉ cần xét các giá trị của k trong một khoảng có độ dài là 2 (ví dụ: k = 0, 1, 2, 3) để bao quát hết các trường hợp.

Xét các giá trị của k:
Khi k = 0: x = π/8 + 0 * (π/2) = π/8.
Đây là một điểm trên đường tròn lượng giác.

Khi k = 1: x = π/8 + 1 * (π/2) = π/8 + 4π/8 = 5π/8.
Đây là một điểm khác trên đường tròn lượng giác.

Khi k = 2: x = π/8 + 2 * (π/2) = π/8 + π = 9π/8.
Để xem điểm này có trùng với điểm nào đã có hay không, ta xét phần bù với 2π.
9π/8 = (9/8 – 16/8)π + 2π = -7π/8 + 2π.
Hoặc đơn giản, 9π/8 = π/8 + π. Điểm biểu diễn π/8 + π trên đường tròn lượng giác sẽ đối xứng qua gốc tọa độ với điểm biểu diễn π/8.
Ta kiểm tra xem 5π/8 và 9π/8 có khác nhau không. 5π/8 – 9π/8 = -4π/8 = -π/2. Chúng không trùng nhau.
Thực chất, 9π/8 = π/8 + π. Điểm biểu diễn 9π/8 sẽ trùng với điểm biểu diễn π/8 khi xét trên đường tròn lượng giác (do tính chu kỳ 2π của điểm trên đường tròn). Tuy nhiên, chúng ta cần xét sự khác biệt giữa các nghiệm sinh ra từ công thức.

Chúng ta cần tìm số điểm phân biệt ứng với nghiệm x = π/8 + kπ/2.
Khoảng cách giữa hai nghiệm liên tiếp là π/2. Trên đường tròn lượng giác, một vòng quay là 2π.
Số điểm phân biệt sẽ bằng (2π) / (khoảng cách giữa hai nghiệm) = 2π / (π/2) = 4.

Để làm rõ hơn, chúng ta xét các giá trị k từ 0 đến 3:
k = 0: x_0 = π/8
k = 1: x_1 = π/8 + π/2 = 5π/8
k = 2: x_2 = π/8 + π = 9π/8
k = 3: x_3 = π/8 + 3π/2 = 13π/8

Bây giờ chúng ta kiểm tra xem các điểm này có trùng nhau trên đường tròn lượng giác hay không.
Ta chỉ cần xem xét các giá trị trong khoảng [0, 2π).
π/8 nằm trong khoảng này.
5π/8 nằm trong khoảng này.
9π/8 nằm trong khoảng này.
13π/8 nằm trong khoảng này.

Ta xem xét sự khác biệt giữa các góc này modulo 2π.
x_1 – x_0 = π/2
x_2 – x_1 = π/2
x_3 – x_2 = π/2
x_0 – x_3 + 2π = π/8 – 13π/8 + 2π = -12π/8 + 2π = -3π/2 + 2π = π/2.

Vì khoảng cách giữa các nghiệm liên tiếp là π/2, và 2π chia hết cho π/2 (2π / (π/2) = 4), nên sẽ có 4 điểm phân biệt trên đường tròn lượng giác.

Các điểm này tương ứng với các góc: π/8, 5π/8, 9π/8, 13π/8. Cả bốn góc này đều nằm trong khoảng [0, 2π) và cách nhau một khoảng π/2, do đó chúng biểu diễn 4 điểm phân biệt trên đường tròn lượng giác.

Kết luận:

Phương trình tan(2x) = 1 có nghiệm tổng quát là x = π/8 + kπ/2. Trên đường tròn lượng giác, mỗi giá trị k nguyên sẽ cho ta một điểm biểu diễn nghiệm. Do khoảng cách giữa hai nghiệm liên tiếp là π/2 và đường tròn lượng giác có chu vi là 2π, số điểm biểu diễn nghiệm phân biệt là 2π / (π/2) = 4.

Vậy, số điểm biểu diễn nghiệm của phương trình tan2x=1 trên đường tròn lượng giác là 4.

Hy vọng các em đã hiểu rõ cách giải bài toán này. Nếu có bất kỳ câu hỏi nào, đừng ngần ngại hỏi cô nhé!