Chào các em học sinh thân mến! Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán so sánh hai lũy thừa. Bài toán này tuy nhìn có vẻ phức tạp nhưng cô tin rằng với kiến thức đã học, chúng ta hoàn toàn có thể chinh phục được nó.

Chúng ta cần so sánh hai số: \(\frac{1}{5^{50}}\) và \(\frac{1}{3^{75}}\).

Để so sánh hai phân số có tử số giống nhau (ở đây là 1), chúng ta sẽ so sánh hai mẫu số của chúng. Mẫu số nào lớn hơn thì phân số đó sẽ nhỏ hơn, và ngược lại.

Vậy, bài toán của chúng ta bây giờ là so sánh \(5^{50}\) và \(3^{75}\).

Nhìn vào hai số mũ là 50 và 75, chúng ta thấy rằng chúng có thể cùng chia hết cho 25. Đây là một gợi ý để chúng ta đưa hai lũy thừa này về cùng cơ số hoặc cùng số mũ.

Chúng ta sẽ cố gắng đưa về cùng số mũ.

Ta có:
\(50 = 2 \times 25\)
\(75 = 3 \times 25\)

Bây giờ, chúng ta sẽ viết lại hai lũy thừa \(5^{50}\) và \(3^{75}\) dựa trên cách phân tích này:

\(5^{50} = 5^{2 \times 25}\)
Áp dụng quy tắc lũy thừa của lũy thừa: \((a^m)^n = a^{m \times n}\). Ở đây, chúng ta sẽ làm ngược lại: \(a^{m \times n} = (a^m)^n\).
Vậy, \(5^{50} = (5^2)^{25}\)
Tính \(5^2\): \(5^2 = 25\).
Do đó, \(5^{50} = 25^{25}\).

Tương tự, với \(3^{75}\):
\(3^{75} = 3^{3 \times 25}\)
Áp dụng quy tắc lũy thừa của lũy thừa, ta có: \(3^{75} = (3^3)^{25}\)
Tính \(3^3\): \(3^3 = 3 \times 3 \times 3 = 9 \times 3 = 27\).
Do đó, \(3^{75} = 27^{25}\).

Bây giờ, chúng ta cần so sánh \(25^{25}\) và \(27^{25}\).
Chúng ta thấy rằng hai lũy thừa này có cùng số mũ là 25. Để so sánh hai lũy thừa có cùng số mũ dương, chúng ta chỉ cần so sánh hai cơ số của chúng.

Cơ số của lũy thừa thứ nhất là 25.
Cơ số của lũy thừa thứ hai là 27.

Ta có: \(25 < 27\). Vì cơ số nhỏ hơn nên lũy thừa đó cũng nhỏ hơn. Do đó, \(25^{25} < 27^{25}\). Thay lại các giá trị ban đầu: \(5^{50} < 3^{75}\) Bây giờ, chúng ta quay trở lại bài toán so sánh hai phân số ban đầu: \(\frac{1}{5^{50}}\) và \(\frac{1}{3^{75}}\). Vì \(5^{50} < 3^{75}\) (mẫu số thứ nhất nhỏ hơn mẫu số thứ hai), nên phân số có mẫu số nhỏ hơn sẽ lớn hơn. Hay nói cách khác, ta có thể nhân cả hai vế của bất đẳng thức \(5^{50} < 3^{75}\) với \(\frac{1}{5^{50} \times 3^{75}}\) (là một số dương), ta được: \(\frac{5^{50}}{5^{50} \times 3^{75}} < \frac{3^{75}}{5^{50} \times 3^{75}}\) \(\frac{1}{3^{75}} < \frac{1}{5^{50}}\) Vậy, \(\frac{1}{5^{50}} > \frac{1}{3^{75}}\).

Kết luận:
Ta có:
\(5^{50} = (5^2)^{25} = 25^{25}\)
\(3^{75} = (3^3)^{25} = 27^{25}\)

Vì \(25 < 27\) nên \(25^{25} < 27^{25}\). Suy ra \(5^{50} < 3^{75}\). Do đó, \(\frac{1}{5^{50}} > \frac{1}{3^{75}}\).