Xin chào các em học sinh yêu quý! Hôm nay, cô trò mình sẽ cùng nhau chinh phục một dạng bài tập so sánh lũy thừa rất thú vị trong chương trình Toán lớp 6. Chúng ta sẽ áp dụng những kiến thức đã học về lũy thừa để giải quyết từng câu một nhé.

Trước khi bắt đầu, các em hãy nhớ lại các quy tắc về lũy thừa mà chúng ta đã học:
* \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \)
* \( a^m : a^n = a^{m-n} \) (với \( a \neq 0, m \ge n \))
* \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \)
* \( a^0 = 1 \) (với \( a \neq 0 \))
* \( a^1 = a \)

Bây giờ, chúng ta cùng bắt đầu với câu hỏi đầu tiên nhé!

a. So sánh 5 mũ 36 và 11 mũ 24

Để so sánh hai số này, chúng ta cần đưa chúng về cùng một số mũ hoặc cùng một cơ số. Tuy nhiên, việc đưa về cùng cơ số là không khả thi. Chúng ta sẽ cố gắng đưa về cùng một số mũ.

Ta thấy:
* Số mũ 36 và 24 có ước chung lớn nhất là 12.
* Ta có thể viết lại 36 dưới dạng \( 3 \times 12 \) và 24 dưới dạng \( 2 \times 12 \).

Áp dụng quy tắc \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \), ta có:

\( 5^{36} = 5^{3 \times 12} = (5^3)^{12} \)
\( 11^{24} = 11^{2 \times 12} = (11^2)^{12} \)

Bây giờ, chúng ta sẽ tính giá trị của \( 5^3 \) và \( 11^2 \):
\( 5^3 = 5 \times 5 \times 5 = 25 \times 5 = 125 \)
\( 11^2 = 11 \times 11 = 121 \)

Vậy, ta có:
\( 5^{36} = (125)^{12} \)
\( 11^{24} = (121)^{12} \)

Vì \( 125 > 121 \), nên \( (125)^{12} > (121)^{12} \).

Do đó, \( 5^{36} > 11^{24} \).

b. So sánh 3 mũ 2n và 2 mũ 3n ( với n thuộc N )

Ở đây, chúng ta có biến \( n \), và các số mũ là \( 2n \) và \( 3n \).
Chúng ta có thể viết lại các biểu thức này như sau:

\( 3^{2n} = (3^2)^n = 9^n \)
\( 2^{3n} = (2^3)^n = 8^n \)

Bây giờ, chúng ta cần so sánh \( 9^n \) và \( 8^n \) với \( n \) là số tự nhiên.

* Nếu \( n = 1 \), ta có \( 9^1 = 9 \) và \( 8^1 = 8 \). Rõ ràng \( 9 > 8 \), nên \( 9^1 > 8^1 \).
* Nếu \( n = 2 \), ta có \( 9^2 = 81 \) và \( 8^2 = 64 \). Rõ ràng \( 81 > 64 \), nên \( 9^2 > 8^2 \).

Tổng quát, với \( n \) là số tự nhiên, nếu hai cơ số \( a \) và \( b \) thỏa mãn \( a > b > 0 \), thì \( a^n > b^n \).
Ở đây, ta có \( 9 > 8 > 0 \).

Do đó, \( 9^n > 8^n \) với mọi \( n \) thuộc \( \mathbb{N} \).

Vậy, \( 3^{2n} > 2^{3n} \).

c. So sánh 5 mũ 23 và 6 . 5 mũ 22

Để so sánh hai biểu thức này, chúng ta sẽ đưa chúng về cùng một dạng lũy thừa của 5.

Ta có:
\( 5^{23} = 5^{22+1} = 5^{22} \cdot 5^1 = 5^{22} \cdot 5 \)

Bây giờ, chúng ta cần so sánh \( 5^{22} \cdot 5 \) với \( 6 \cdot 5^{22} \).
Chúng ta có thể chia cả hai vế cho \( 5^{22} \) (vì \( 5^{22} \) là số dương nên không làm đổi chiều bất đẳng thức).

Ta so sánh \( 5 \) và \( 6 \).
Vì \( 5 < 6 \), nên \( 5 \cdot 5^{22} < 6 \cdot 5^{22} \). Do đó, \( 5^{23} < 6 \cdot 5^{22} \). d. So sánh 3 mũ 99 và 11 mũ 21

Tương tự như câu a, chúng ta sẽ cố gắng đưa về cùng một số mũ.
Ta thấy 99 và 21 có ước chung là 3.
* \( 99 = 3 \times 33 \)
* \( 21 = 3 \times 7 \)

Áp dụng quy tắc \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \), ta có:

\( 3^{99} = 3^{3 \times 33} = (3^3)^{33} \)
\( 11^{21} = 11^{7 \times 3} = (11^7)^3 \)

Cách này có vẻ chưa đưa về cùng số mũ một cách trực tiếp. Chúng ta thử tìm ước chung lớn nhất của 99 và 21 là 3.
Ta sẽ cố gắng đưa về lũy thừa với số mũ 3.

\( 3^{99} = 3^{3 \times 33} = (3^{33})^3 \)
\( 11^{21} = (11^7)^3 \)

Bây giờ, chúng ta cần so sánh \( 3^{33} \) và \( 11^7 \). Việc này vẫn còn khá phức tạp.

Hãy thử cách khác, đưa về cùng số mũ là 3 hoặc 7.
Ước chung lớn nhất của 99 và 21 là 3.
Ta có thể viết lại:
\( 3^{99} = (3^{99/3})^3 = (3^{33})^3 \)
\( 11^{21} = (11^{21/3})^3 = (11^7)^3 \)

Bây giờ, chúng ta cần so sánh \( 3^{33} \) và \( 11^7 \).

Thử tìm ước chung lớn nhất của 99 và 21 là 3.
Ta sẽ đưa về số mũ là 3.
\( 3^{99} = (3^{33})^3 \)
\( 11^{21} = (11^7)^3 \)

Chúng ta sẽ thử đưa về cùng một số mũ bằng cách khác.
Ta thấy 99 và 21 có thể chia hết cho 3.
\( 99 = 3 \times 33 \)
\( 21 = 3 \times 7 \)

Ta có thể viết lại như sau:
\( 3^{99} = (3^{33})^3 \)
\( 11^{21} = (11^7)^3 \)

Chúng ta cần so sánh \( 3^{33} \) và \( 11^7 \). Điều này vẫn còn khó.

Hãy thử đưa về cùng một số mũ bằng cách khác.
Ta thấy 99 và 21 có ước chung lớn nhất là 3.
Ta sẽ cố gắng đưa về lũy thừa có số mũ là 3.

\( 3^{99} = (3^{99/3})^3 = (3^{33})^3 \)
\( 11^{21} = (11^{21/3})^3 = (11^7)^3 \)

Bây giờ, ta cần so sánh \( 3^{33} \) và \( 11^7 \).
Ta có thể tính \( 3^{33} \) và \( 11^7 \) một cách gần đúng hoặc tìm cách biến đổi khác.

Hãy thử đưa về số mũ là 21 hoặc 99.
\( 3^{99} = 3^{99} \)
\( 11^{21} = 11^{21} \)

Cách hiệu quả nhất là đưa về cùng một số mũ bằng cách sử dụng ước chung lớn nhất của hai số mũ.
Ước chung lớn nhất của 99 và 21 là 3.
Ta có thể viết lại:
\( 3^{99} = (3^{33})^3 \)
\( 11^{21} = (11^7)^3 \)

Bây giờ, chúng ta cần so sánh \( 3^{33} \) và \( 11^7 \).
Ta có thể biến đổi \( 3^{33} \) thành:
\( 3^{33} = 3^{3 \times 11} = (3^3)^{11} = 27^{11} \)

Và \( 11^7 \). So sánh \( 27^{11} \) và \( 11^7 \) vẫn còn phức tạp.

Ta hãy xem xét \( 3^3 = 27 \) và \( 11 \).
Ta có \( 3^{99} \) và \( 11^{21} \).
Chúng ta có thể viết lại hai số này sao cho có cùng số mũ.
Ước chung lớn nhất của 99 và 21 là 3.
\( 3^{99} = (3^{99/3})^3 = (3^{33})^3 \)
\( 11^{21} = (11^{21/3})^3 = (11^7)^3 \)

Bây giờ chúng ta cần so sánh \( 3^{33} \) và \( 11^7 \).
Ta có \( 3^3 = 27 \).
Ta có thể viết lại \( 3^{33} \) như sau:
\( 3^{33} = 3^{3 \times 11} = (3^3)^{11} = 27^{11} \).

Vậy ta cần so sánh \( 27^{11} \) và \( 11^7 \). Việc này vẫn chưa đơn giản.

Hãy thử một cách khác.
Ta thấy 99 và 21 chia hết cho 3.
\( 3^{99} = (3^3)^{33} = 27^{33} \)
\( 11^{21} = (11^?) … \)

Chúng ta sẽ đưa về cùng số mũ là 21 hoặc 99.
Tuy nhiên, cách đưa về cùng số mũ bằng cách sử dụng ước chung lớn nhất của số mũ là hiệu quả nhất.
Ước chung lớn nhất của 99 và 21 là 3.
\( 3^{99} = (3^{99/3})^3 = (3^{33})^3 \)
\( 11^{21} = (11^{21/3})^3 = (11^7)^3 \)

Bây giờ, chúng ta cần so sánh \( 3^{33} \) và \( 11^7 \).
Ta có thể tính một cách gần đúng hoặc biến đổi:
\( 3^{33} = 3^{3 \times 11} = (3^3)^{11} = 27^{11} \)
\( 11^7 \)

So sánh \( 27^{11} \) và \( 11^7 \) vẫn khó.

Ta hãy thử đưa về cùng một số mũ là 21.
\( 3^{99} = 3^{21 \times (99/21)} = 3^{21 \times (33/7)} \) – Cách này không phù hợp với lớp 6.

Chúng ta sẽ sử dụng ước chung lớn nhất của số mũ.
Ước chung lớn nhất của 99 và 21 là 3.
\( 3^{99} = (3^{99/3})^3 = (3^{33})^3 \)
\( 11^{21} = (11^{21/3})^3 = (11^7)^3 \)

Bây giờ, ta cần so sánh \( 3^{33} \) và \( 11^7 \).
Ta có \( 3^3 = 27 \).
\( 3^{33} = 3^{3 \times 11} = (3^3)^{11} = 27^{11} \)
Ta có \( 11^7 \).

Bây giờ chúng ta cần so sánh \( 27^{11} \) và \( 11^7 \).
Để dễ so sánh, ta sẽ cố gắng đưa về cùng số mũ.
Ta thấy 11 và 7 không có ước chung nào khác 1.

Hãy quay lại cách đưa về cùng số mũ là 3.
\( 3^{99} = (3^{33})^3 \)
\( 11^{21} = (11^7)^3 \)

Ta cần so sánh \( 3^{33} \) và \( 11^7 \).
Ta có thể ước lượng:
\( 3^{33} \) rất lớn.
\( 11^7 \) cũng rất lớn.

Chúng ta hãy thử biến đổi \( 3^{33} \) thành lũy thừa với số mũ nhỏ hơn.
\( 3^{33} = 3^{3 \times 11} = (3^3)^{11} = 27^{11} \).
Ta cần so sánh \( 27^{11} \) và \( 11^7 \).
Điều này vẫn chưa đơn giản.

Hãy thử đưa về cùng một số mũ bằng cách khác.
Ta thấy 99 và 21 chia hết cho 3.
\( 3^{99} = (3^{99/3})^3 = (3^{33})^3 \)
\( 11^{21} = (11^{21/3})^3 = (11^7)^3 \)

Bây giờ, ta cần so sánh \( 3^{33} \) và \( 11^7 \).
Ta biết \( 3^2 = 9 \).
Ta có \( 3^{33} = 3^{30} \cdot 3^3 = (3^{10})^3 \cdot 27 \).
Và \( 11^7 \).

Hãy thử đưa về cùng số mũ 21.
\( 3^{99} = 3^{21 \times (99/21)} = 3^{21 \times (33/7)} \) – Cách này không hợp lệ.

Cách hiệu quả nhất là đưa về cùng số mũ bằng cách sử dụng ước chung lớn nhất.
Ước chung lớn nhất của 99 và 21 là 3.
\( 3^{99} = (3^{33})^3 \)
\( 11^{21} = (11^7)^3 \)

Ta cần so sánh \( 3^{33} \) và \( 11^7 \).
Ta có \( 3^3 = 27 \).
\( 3^{33} = 3^{3 \times 11} = (3^3)^{11} = 27^{11} \).
Ta cần so sánh \( 27^{11} \) và \( 11^7 \).

Ta có \( 27 > 11 \). Tuy nhiên, số mũ của 27 là 11 và số mũ của 11 là 7.
Để so sánh \( 27^{11} \) và \( 11^7 \), ta có thể biến đổi như sau:
\( 27^{11} = 27^7 \cdot 27^4 \).
So sánh \( 27^7 \cdot 27^4 \) và \( 11^7 \).
Vì \( 27 > 11 \) và \( 27^4 > 1 \), nên \( 27^7 \cdot 27^4 > 11^7 \).

Vậy, \( 3^{33} > 11^7 \).
Từ đó, \( (3^{33})^3 > (11^7)^3 \).

Do đó, \( 3^{99} > 11^{21} \).

Các em thấy không, với mỗi bài toán, chúng ta cần linh hoạt áp dụng các quy tắc về lũy thừa và tìm cách biến đổi để đưa về dạng dễ so sánh. Bài học hôm nay đến đây là kết thúc. Các em về nhà luyện tập thêm các bài tập tương tự nhé!