Bây giờ, chúng ta hãy xem xét công của lực điện khi điện tích q di chuyển từ điểm M đến điểm N trong một điện trường đều \( \vec{E} \).

Ta có \( \vec{F} = q \vec{E} \).

Do đó, công của lực điện A khi điện tích q di chuyển từ M đến N là:

\( A_{MN} = \vec{F} \cdot \vec{MN} = (q \vec{E}) \cdot \vec{MN} = q (\vec{E} \cdot \vec{MN}) \)

Phần \( \vec{E} \cdot \vec{MN} \) này là tích vô hướng giữa vectơ cường độ điện trường và vectơ độ dịch chuyển.

Bước 4: Chứng minh công không phụ thuộc vào đường đi

Đây là phần quan trọng nhất. Để chứng minh công của lực điện không phụ thuộc vào hình dạng đường đi, chúng ta cần phân tích cái \( \vec{E} \cdot \vec{MN} \) này.

Xét hai điểm M và N trong điện trường đều. Giả sử chúng ta có một hệ quy chiếu tọa độ Descartes. Vectơ cường độ điện trường \( \vec{E} \) có các thành phần không đổi là \( E_x, E_y, E_z \). Vectơ độ dịch chuyển \( \vec{MN} \) từ M đến N có các thành phần thay đổi tùy thuộc vào tọa độ của M và N.

Gọi tọa độ của M là \( (x_M, y_M, z_M) \) và tọa độ của N là \( (x_N, y_N, z_N) \).
Vectơ độ dịch chuyển \( \vec{MN} \) sẽ có các thành phần là \( (x_N – x_M, y_N – y_M, z_N – z_M) \).

Tích vô hướng \( \vec{E} \cdot \vec{MN} \) sẽ là:

\( \vec{E} \cdot \vec{MN} = E_x (x_N – x_M) + E_y (y_N – y_M) + E_z (z_N – z_M) \)

Ta có thể nhóm các thành phần lại:

\( \vec{E} \cdot \vec{MN} = (E_x x_N + E_y y_N + E_z z_N) – (E_x x_M + E_y y_M + E_z z_M) \)

Bây giờ, chúng ta định nghĩa một đại lượng gọi là “hiệu điện thế” giữa hai điểm. Trong điện trường đều, ta có thể liên hệ đại lượng này với công.

Quan trọng hơn, chúng ta có thể thấy rằng biểu thức \( (E_x x + E_y y + E_z z) \) chỉ phụ thuộc vào tọa độ của điểm (x, y, z) và các thành phần không đổi của \( \vec{E} \).

Giả sử chúng ta định nghĩa một hàm thế \( V(x, y, z) \) sao cho:
\( E_x = – \frac{\partial V}{\partial x} \)
\( E_y = – \frac{\partial V}{\partial y} \)
\( E_z = – \frac{\partial V}{\partial z} \)

Trong điện trường đều, ta có thể chọn một gốc thế và thiết lập một hàm thế đơn giản.

Tuy nhiên, để đơn giản nhất, ta hãy nhìn vào bản chất của tích vô hướng:

\( \vec{E} \cdot \vec{MN} = |\vec{E}| |\vec{MN}| \cos \theta \)

Trong đó \( \theta \) là góc giữa \( \vec{E} \) và \( \vec{MN} \).

Nếu chúng ta xét các đường đi khác nhau từ M đến N, vectơ độ dịch chuyển \( \vec{MN} \) sẽ khác nhau về hình dạng (ví dụ đường thẳng, đường cong). Tuy nhiên, điểm M và điểm N là cố định.

Để làm rõ điều này, chúng ta có thể phân tích đường đi thành nhiều đoạn thẳng rất nhỏ.
Giả sử ta có một đường đi phức tạp \( C \) từ M đến N. Ta chia đường đi này thành nhiều đoạn nhỏ liên tiếp \( \vec{dl}_1, \vec{dl}_2, \ldots, \vec{dl}_n \).
Tổng độ dịch chuyển từ M đến N là:

\( \vec{MN} = \vec{dl}_1 + \vec{dl}_2 + \ldots + \vec{dl}_n \)

Công của lực điện trên toàn bộ đường đi \( C \) sẽ là tổng công trên từng đoạn nhỏ:

\( A_C = \sum_{i=1}^{n} A_i = \sum_{i=1}^{n} q (\vec{E} \cdot \vec{dl}_i) \)

Vì \( \vec{E} \) là không đổi, ta có thể đưa q và \( \vec{E} \) ra ngoài dấu tổng:

\( A_C = q \vec{E} \cdot \sum_{i=1}^{n} \vec{dl}_i \)

Và \( \sum_{i=1}^{n} \vec{dl}_i \) chính là vectơ tổng độ dịch chuyển từ điểm đầu đến điểm cuối, tức là \( \vec{MN} \).

Do đó:

\( A_C = q \vec{E} \cdot \vec{MN} \)

Biểu thức này cho thấy công của lực điện chỉ phụ thuộc vào:
1. Điện tích q.
2. Vectơ cường độ điện trường \( \vec{E} \) (là không đổi trong điện trường đều).
3. Vectơ độ dịch chuyển \( \vec{MN} \) từ điểm đầu đến điểm cuối (tức là chỉ phụ thuộc vào vị trí của điểm đầu M và điểm cuối N).

Như vậy, dù cho điện tích di chuyển theo bất kỳ đường cong nào từ M đến N, vectơ độ dịch chuyển tổng hợp vẫn là \( \vec{MN} \). Do đó, công của lực điện là như nhau và không phụ thuộc vào hình dạng đường đi.

Bước 5: Kết luận**