tại sao sin(x+2023.pi/2)= -cosx
tại sao sin(x+2023.pi/2)= -cosx
Chúng ta cần chứng minh tại sao:
sin(x + 2023π/2) = -cosx
Đầu tiên, chúng ta cần phân tích cái số “2023” trong biểu thức. Số 2023 này khá lớn, nên chúng ta sẽ tìm cách đưa nó về một dạng đơn giản hơn bằng cách sử dụng tính chất của hàm sin. Các em còn nhớ chu kỳ của hàm sin là bao nhiêu không? Đúng rồi, chu kỳ của hàm sin là 2π. Điều này có nghĩa là:
sin(α + 2kπ) = sin(α) với k là số nguyên bất kỳ.
Bây giờ, chúng ta hãy xem xét số 2023π/2. Chúng ta muốn tách phần nào đó có thể quy về bội số của 2π.
Chúng ta có thể viết 2023 = 2020 + 3.
Vậy, 2023π/2 = (2020 + 3)π/2 = 2020π/2 + 3π/2.
Ta có 2020π/2 = 1010π.
Vì 1010 là một số chẵn, nên 1010π = 505 * 2π. Đây chính là một bội số của chu kỳ 2π.
Do đó, sin(x + 2023π/2) = sin(x + 1010π + 3π/2)
Áp dụng tính chất sin(α + 2kπ) = sin(α), với α = x + 3π/2 và k = 505, ta được:
sin(x + 1010π + 3π/2) = sin(x + 3π/2)
Bây giờ, chúng ta cần tính giá trị của sin(x + 3π/2).
Chúng ta có thể sử dụng công thức cộng góc cho hàm sin:
sin(A + B) = sinAcosB + cosAsinB
Trong trường hợp này, A = x và B = 3π/2.
Vậy, sin(x + 3π/2) = sinx cos(3π/2) + cosx sin(3π/2).
Bây giờ, chúng ta cần biết giá trị của cos(3π/2) và sin(3π/2).
Các em hãy nhớ lại vòng tròn lượng giác hoặc các giá trị đặc biệt của hàm cos và sin.
Ta có:
cos(3π/2) = 0
sin(3π/2) = -1
Thay các giá trị này vào công thức:
sin(x + 3π/2) = sinx 0 + cosx (-1)
sin(x + 3π/2) = 0 – cosx
sin(x + 3π/2) = -cosx
Vậy là chúng ta đã chứng minh được:
sin(x + 2023π/2) = -cosx
Một cách khác để suy luận nhanh hơn, chúng ta có thể nhớ hoặc suy ra công thức biến đổi đặc biệt:
sin(α + π/2) = cosα
sin(α + π) = -sinα
sin(α + 3π/2) = -cosα
sin(α + 2π) = sinα
Chúng ta đã đưa biểu thức về dạng sin(x + 3π/2).
Áp dụng trực tiếp công thức sin(α + 3π/2) = -cosα với α = x, ta có:
sin(x + 3π/2) = -cosx.
Qua bài tập này, các em cần nhớ:
1. Tính chất chu kỳ của hàm sin: sin(α + 2kπ) = sin(α).
2. Cách biến đổi một góc lớn về dạng đơn giản hơn bằng cách chia lấy dư cho 2π hoặc các bội số tương ứng của π/2.
3. Các công thức cộng góc hoặc các công thức biến đổi lượng giác đặc biệt.
Hy vọng các em đã hiểu rõ cách giải bài tập này. Nếu có bất kỳ câu hỏi nào, đừng ngần ngại hỏi cô nhé!
\(\begin{array}{l}
\sin \left( {x + \dfrac{{2023\pi }}{2}} \right) = \sin \left( {x + 1012\pi – \dfrac{\pi }{2}} \right)\\
= \sin \left( {x – \dfrac{\pi }{2}} \right) = – \sin \left( {\dfrac{\pi }{2} – x} \right) = – \cos x\\
\bullet \sin \left( { – \alpha } \right) = – \sin \alpha ,\sin \left( {\dfrac{\pi }{2} – \alpha } \right) = \cos \alpha ,\sin \left( {\alpha + k2\pi } \right) = \sin \alpha \left( {k \in Z} \right)
\end{array}\)