Cô hiểu cảm giác của em khi gặp một bài toán có vẻ phức tạp. Đừng lo lắng nhé, không có ai “ngu” môn Toán cả, chỉ là đôi khi chúng ta chưa quen với dạng bài hoặc chưa nắm vững công thức thôi. Em cứ yên tâm, bài toán này rất cơ bản nếu mình làm cẩn thận từng bước. Cô trò mình cùng nhau giải chi tiết nhé, em đọc từ từ là sẽ hiểu ngay.

Bước 1: Tìm Điều kiện xác định (ĐKXĐ) của phương trình
Đây là bước đầu tiên và rất quan trọng khi giải phương trình có chứa hàm \(tan\). Em nhớ lại nhé, hàm số \(y = \tan(A)\) chỉ xác định khi \( \cos(A) \neq 0 \).
Trong bài của chúng ta có \( \tan(3x) \) và \( \tan(x) \). Vậy, ta phải có:

• Đối với \( \tan(3x) \), ta cần \( \cos(3x) \neq 0 \)
• Đối với \( \tan(x) \), ta cần \( \cos(x) \neq 0 \)

Đây là điều kiện để phương trình có nghĩa. Lát nữa khi tìm được nghiệm, chúng ta phải kiểm tra lại xem nghiệm đó có thỏa mãn hai điều kiện này không.

Bước 2: Biến đổi phương trình về dạng cơ bản
Cách làm tự nhiên nhất khi gặp \( \tan \) là đưa về \( \sin \) và \( \cos \). Ta có công thức \( \tan(A) = \frac{\sin(A)}{\cos(A)} \).
Áp dụng vào phương trình, ta được:
\[ \frac{\sin(3x)}{\cos(3x)} + \frac{\sin(x)}{\cos(x)} = 0 \]
Bây giờ, ta quy đồng mẫu số. Mẫu số chung là \( \cos(3x)\cos(x) \).
\[ \frac{\sin(3x)\cos(x) + \cos(3x)\sin(x)}{\cos(3x)\cos(x)} = 0 \]
Một phân thức bằng 0 khi và chỉ khi tử số của nó bằng 0 (và mẫu số khác 0, điều này chính là ĐKXĐ ta đã đặt ở Bước 1).
Vậy, ta cần giải phương trình ở tử số:
\[ \sin(3x)\cos(x) + \cos(3x)\sin(x) = 0 \]

Bước 3: Giải phương trình lượng giác cơ bản
Nhìn vào phương trình trên, em có nhận ra đây là công thức gì không? Đây chính là công thức cộng của hàm sin!
Cô nhắc lại công thức: \( \sin(a+b) = \sin(a)\cos(b) + \cos(a)\sin(b) \).
Áp dụng vào phương trình của mình với \( a=3x \) và \( b=x \), ta có:
\[ \sin(3x+x) = 0 \]
\[ \sin(4x) = 0 \]
Đây là một phương trình lượng giác rất cơ bản. Nghiệm của phương trình \( \sin(u) = 0 \) là \( u = k\pi \) (với \(k\) là một số nguyên bất kỳ, kí hiệu là \( k \in \mathbb{Z} \)).
Áp dụng vào bài, ta có:
\[ 4x = k\pi \]
Chia cả hai vế cho 4, ta tìm được họ nghiệm:
\[ x = \frac{k\pi}{4} \quad (k \in \mathbb{Z}) \]

Bước 4: Đối chiếu nghiệm với Điều kiện xác định
Đây là bước cuối cùng và quyết định. Ta phải kiểm tra xem các nghiệm \( x = \frac{k\pi}{4} \) có làm cho \( \cos(x) \) hoặc \( \cos(3x) \) bằng 0 hay không.

Kiểm tra điều kiện \( \cos(x) \neq 0 \):
Ta thay \( x = \frac{k\pi}{4} \) vào, ta có \( \cos(\frac{k\pi}{4}) \neq 0 \).
Hàm \( \cos \) bằng 0 tại các vị trí \( \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}, … \), tức là \( \frac{\pi}{2} + m\pi \).
Vậy ta phải loại các giá trị \(k\) sao cho \( \frac{k\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + m\pi \) (với \( m \in \mathbb{Z} \)).
Chia cả hai vế cho \( \pi \): \( \frac{k}{4} = \frac{1}{2} + m \)
Nhân cả hai vế cho 4: \( k = 2 + 4m \)
Điều này có nghĩa là \(k\) không được là các số như 2, 6, 10, -2, -6, … (Tức là các số chẵn không chia hết cho 4).

Kiểm tra điều kiện \( \cos(3x) \neq 0 \):
Ta thay \( x = \frac{k\pi}{4} \) vào, ta có \( \cos(\frac{3k\pi}{4}) \neq 0 \).
Tương tự, ta phải loại các giá trị \(k\) sao cho \( \frac{3k\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + m\pi \).
Chia cả hai vế cho \( \pi \): \( \frac{3k}{4} = \frac{1}{2} + m \)
Nhân cả hai vế cho 4: \( 3k = 2 + 4m \)
Nếu em thử các giá trị \(k\) có dạng \( k = 2 + 4m \) ở trên vào đây, em sẽ thấy nó cũng vi phạm điều kiện này. Ví dụ, với k=2, ta có \( 3(2) = 6 \). Phương trình \( 6 = 2 + 4m \) cho ta \( 4m=4 \), tức là \(m=1\). Vậy \( k=2 \) cũng bị loại.

Tóm lại, cả hai điều kiện đều dẫn đến việc ta phải loại các giá trị \(k\) có dạng \( k = 2 + 4m \).

Bước 5: Kết luận
Phương trình có họ nghiệm là \( x = \frac{k\pi}{4} \) nhưng phải loại đi các trường hợp làm cho mẫu số bằng 0. Như ta đã phân tích, các trường hợp này xảy ra khi \( k = 2 + 4m \).
Vậy, nghiệm của phương trình là:
\[ x = \frac{k\pi}{4} \quad (k \in \mathbb{Z} \text{ và } k \neq 2 + 4m \text{ với } m \in \mathbb{Z}) \]

Em thấy không, chỉ cần đi từng bước một cách cẩn thận là chúng ta sẽ giải được. Lần sau gặp bài tương tự, em hãy nhớ trình tự: Tìm điều kiện -> Biến đổi -> Giải -> Đối chiếu điều kiện. Cố gắng lên em nhé! Nếu có gì chưa hiểu, đừng ngại hỏi lại.