Chào các em! Cô rất vui được hướng dẫn các em giải bài tập tìm tập giá trị của hàm số lượng giác ngày hôm nay.

Chúng ta sẽ cùng nhau tìm tập giá trị của hàm số \(y = \cos 2x – \sin 2x\).

Bước 1: Biến đổi hàm số về dạng \(a \cos u + b \sin u\)

Các em còn nhớ công thức biến đổi \(a \cos u + b \sin u\) về dạng \(R \cos(u – \alpha)\) hoặc \(R \sin(u + \beta)\) không nào?
Ở đây, hàm số của chúng ta có dạng \(y = \cos 2x – \sin 2x\).
Chúng ta có thể coi đây là \(1 \cdot \cos 2x + (-1) \cdot \sin 2x\).
Vậy \(a = 1\) và \(b = -1\).

Chúng ta sẽ sử dụng công thức biến đổi:
\(a \cos u + b \sin u = R \cos(u – \alpha)\), trong đó \(R = \sqrt{a^2 + b^2}\) và \(\cos \alpha = \frac{a}{R}\), \(\sin \alpha = \frac{b}{R}\).

Tính \(R\):
\(R = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}\).

Bây giờ, chúng ta cần tìm \(\alpha\) sao cho \(\cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{2}}\) và \(\sin \alpha = \frac{-1}{\sqrt{2}}\).
Dựa vào các giá trị này, chúng ta có thể xác định \(\alpha\). Góc \(\alpha\) thỏa mãn điều kiện này là \(\alpha = -\frac{\pi}{4}\) hoặc \(\alpha = \frac{7\pi}{4}\) (hoặc các góc tương đương).
Chúng ta có thể chọn \(\alpha = -\frac{\pi}{4}\).

Vậy, hàm số \(y = \cos 2x – \sin 2x\) có thể viết lại là:
\(y = \sqrt{2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \cos 2x – \frac{1}{\sqrt{2}} \sin 2x \right)\)
\(y = \sqrt{2} \left( \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) \cos 2x – \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) \sin 2x \right)\)

Áp dụng công thức cộng cosin: \(\cos(A + B) = \cos A \cos B – \sin A \sin B\).
Ở đây, \(A = \frac{\pi}{4}\) và \(B = 2x\).
Do đó,
\(y = \sqrt{2} \cos\left(2x + \frac{\pi}{4}\right)\)

Hoặc, chúng ta có thể dùng \(\alpha = \frac{7\pi}{4}\):
\(y = \sqrt{2} \left( \cos\left(\frac{7\pi}{4}\right) \cos 2x + \sin\left(\frac{7\pi}{4}\right) \sin 2x \right)\)
Áp dụng công thức \(\cos(A – B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B\).
Ở đây, \(A = 2x\) và \(B = \frac{7\pi}{4}\).
\(y = \sqrt{2} \cos\left(2x – \frac{7\pi}{4}\right)\).

Hoặc chúng ta có thể biến đổi về dạng \(\sin\):
\(y = \cos 2x – \sin 2x\)
Nhân và chia cho \(\sqrt{2}\):
\(y = \sqrt{2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \cos 2x – \frac{1}{\sqrt{2}} \sin 2x \right)\)
Chúng ta có \(\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}}\) và \(\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}}\).
\(y = \sqrt{2} \left( \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) \cos 2x – \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) \sin 2x \right)\)
Áp dụng công thức \(\sin(A – B) = \sin A \cos B – \cos A \sin B\).
Ở đây, \(A = \frac{\pi}{4}\) và \(B = 2x\).
\(y = \sqrt{2} \sin\left(\frac{\pi}{4} – 2x\right)\)
Hoặc, chúng ta có thể viết lại là:
\(y = -\sqrt{2} \sin\left(2x – \frac{\pi}{4}\right)\).

Ở đây, cô sẽ chọn biến đổi về dạng \(y = \sqrt{2} \cos\left(2x + \frac{\pi}{4}\right)\) để tiếp tục.

Bước 2: Tìm tập giá trị của hàm số đã biến đổi

Bây giờ chúng ta có hàm số dưới dạng \(y = \sqrt{2} \cos\left(2x + \frac{\pi}{4}\right)\).
Chúng ta đều biết rằng tập giá trị của hàm số \(\cos u\) (với \(u\) là một biểu thức của \(x\)) luôn là \([-1, 1]\).
Tức là, với mọi giá trị của \(u\), ta luôn có:
\[ -1 \le \cos u \le 1 \]
Trong trường hợp này, \(u = 2x + \frac{\pi}{4}\). Vì \(x\) có thể nhận mọi giá trị thực, nên biểu thức \(2x + \frac{\pi}{4}\) cũng có thể nhận mọi giá trị thực. Do đó, \(\cos\left(2x + \frac{\pi}{4}\right)\) cũng sẽ nhận mọi giá trị trong khoảng \([-1, 1]\).
Ta có:
\[ -1 \le \cos\left(2x + \frac{\pi}{4}\right) \le 1 \]

Bây giờ, chúng ta nhân cả ba vế của bất đẳng thức này với \(\sqrt{2}\) (là một số dương, nên chiều của bất đẳng thức không đổi):
\[ \sqrt{2} \cdot (-1) \le \sqrt{2} \cdot \cos\left(2x + \frac{\pi}{4}\right) \le \sqrt{2} \cdot 1 \]
\[ -\sqrt{2} \le y \le \sqrt{2} \]

Bước 3: Kết luận tập giá trị

Từ kết quả ở Bước 2, chúng ta thấy rằng giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y\) là \(-\sqrt{2}\) và giá trị lớn nhất là \(\sqrt{2}\).
Do đó, tập giá trị của hàm số \(y = \cos 2x – \sin 2x\) là khoảng \([-\sqrt{2}, \sqrt{2}]\).

Vậy, tập giá trị của hàm số \(y = \cos 2x – \sin 2x\) là \([-\sqrt{2}, \sqrt{2}]\).

Cô hy vọng các em đã hiểu rõ cách làm. Nếu có bất kỳ câu hỏi nào, đừng ngần ngại hỏi cô nhé!