Chào các em học sinh yêu quý của lớp 11! Cô rất vui được đồng hành cùng các em trong buổi học hôm nay. Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau tìm hiểu về tập giá trị của một hàm số lượng giác quen thuộc: hàm số tang.

Chúng ta sẽ cùng nhau giải bài tập sau: Tập giá trị của hàm số y=tanx là

Để giải bài tập này, chúng ta sẽ đi qua các bước sau:

Bước 1: Nhắc lại định nghĩa hàm số tang.

Các em còn nhớ định nghĩa của hàm số tang không nào? Hàm số tang của một góc lượng giác \(x\) được định nghĩa là tỉ số giữa sin của góc đó và cos của góc đó, miễn là cos của góc đó khác 0.
Công thức của nó là:
\[ \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} \]
Điều kiện để hàm số tang xác định là mẫu số khác 0, tức là \( \cos x \neq 0 \).

Bước 2: Xác định điều kiện xác định của hàm số y=tanx.

Từ định nghĩa trên, hàm số \( y = \tan x \) xác định khi \( \cos x \neq 0 \).
Chúng ta biết rằng \( \cos x = 0 \) khi \( x = \frac{\pi}{2} + k\pi \), với \( k \) là một số nguyên bất kỳ (\( k \in \mathbb{Z} \)).
Do đó, hàm số \( y = \tan x \) xác định với mọi \( x \) thuộc tập hợp \( \mathbb{R} \setminus \{ \frac{\pi}{2} + k\pi \mid k \in \mathbb{Z} \} \).

Bước 3: Tìm tập giá trị của hàm số y=tanx bằng cách xét sự biến thiên trên một chu kỳ.

Để tìm tập giá trị, chúng ta sẽ xét sự biến thiên của hàm số \( y = \tan x \) trên một khoảng xác định mà nó có thể nhận mọi giá trị. Một khoảng thuận tiện để xét là khoảng \( (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) \). Trong khoảng này, hàm số \( \tan x \) liên tục và chỉ nhận một giá trị tại mỗi điểm.

Khi \( x \) tiến về \( -\frac{\pi}{2} \) từ phía bên phải (\( x \to -\frac{\pi}{2}^+ \)), \( \sin x \to -1 \) và \( \cos x \to 0^+ \) (vì \( \cos x \) dương ở góc phần tư thứ IV). Do đó, \( \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} \to \frac{-1}{0^+} = -\infty \).

Khi \( x \) tiến về \( \frac{\pi}{2} \) từ phía bên trái (\( x \to \frac{\pi}{2}^- \)), \( \sin x \to 1 \) và \( \cos x \to 0^+ \) (vì \( \cos x \) dương ở góc phần tư thứ I). Do đó, \( \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} \to \frac{1}{0^+} = +\infty \).

Vì hàm số \( y = \tan x \) liên tục trên khoảng \( (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) \) và có giới hạn là \( -\infty \) khi \( x \to -\frac{\pi}{2}^+ \) và \( +\infty \) khi \( x \to \frac{\pi}{2}^- \), nên theo tính chất của hàm số liên tục, hàm số \( y = \tan x \) sẽ nhận tất cả các giá trị thực trong khoảng này.

Bước 4: Kết luận tập giá trị của hàm số.

Do tính tuần hoàn của hàm số tang (chu kỳ là \( \pi \)), việc nó nhận mọi giá trị thực trên khoảng \( (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) \) cũng có nghĩa là nó nhận mọi giá trị thực trên toàn bộ tập xác định của nó.

Vì vậy, tập giá trị của hàm số \( y = \tan x \) là tập hợp tất cả các số thực.

Kết luận:

Tập giá trị của hàm số \( y = \tan x \) là \( \mathbb{R} \).

Cô hy vọng các em đã hiểu rõ cách tìm tập giá trị của hàm số \( y = \tan x \). Nếu có bất kỳ câu hỏi nào, đừng ngần ngại hỏi cô nhé!