Chào các em học sinh yêu quý của thầy! Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau khám phá một bài tập quen thuộc về tập xác định của hàm số, dựa trên kiến thức đã học trong sách giáo khoa Toán lớp 10.

Bài tập của chúng ta hôm nay là tìm tập xác định của hàm số:

y = 5 / (x^2 – 1)

Thầy sẽ trình bày thật chi tiết để các em dễ dàng theo dõi nhé!

Bước 1: Nhận dạng loại hàm số và điều kiện xác định

Quan sát hàm số y = 5 / (x^2 – 1), chúng ta thấy đây là một hàm số có dạng phân thức. Cụ thể, tử số là một hằng số (số 5), còn mẫu số là một biểu thức chứa biến x, đó là x^2 – 1.

Trong toán học, một phân thức được xác định khi và chỉ khi mẫu số của nó khác 0. Đây là quy tắc cơ bản mà chúng ta đã học. Nếu mẫu số bằng 0, phép chia đó sẽ không thực hiện được.

Vậy, để hàm số y = 5 / (x^2 – 1) xác định, chúng ta cần có điều kiện:

Mẫu số khác 0.

Điều này có nghĩa là:

x^2 – 1 ≠ 0

Bước 2: Giải bất phương trình (hay phương trình tương đương) để tìm giá trị của x

Bây giờ, chúng ta sẽ giải điều kiện x^2 – 1 ≠ 0. Để dễ dàng hơn, chúng ta có thể xem xét phương trình tương đương:

x^2 – 1 = 0

Đây là một phương trình bậc hai quen thuộc. Chúng ta có thể giải nó bằng nhiều cách. Thầy sẽ sử dụng cách phân tích thành nhân tử, vì nó rất hiệu quả.

Chúng ta nhận thấy x^2 – 1 là dạng hằng đẳng thức đáng nhớ: a^2 – b^2 = (a – b)(a + b).

Ở đây, a = x và b = 1. Do đó, ta có:

x^2 – 1 = (x – 1)(x + 1)

Vậy, phương trình x^2 – 1 = 0 trở thành:

(x – 1)(x + 1) = 0

Tích của hai thừa số bằng 0 khi ít nhất một trong hai thừa số bằng 0. Vì vậy, ta có hai trường hợp:

Trường hợp 1: x – 1 = 0
=> x = 1

Trường hợp 2: x + 1 = 0
=> x = -1

Bước 3: Kết hợp điều kiện xác định với các giá trị tìm được

Chúng ta đã tìm được các giá trị của x làm cho mẫu số bằng 0, đó là x = 1 và x = -1.

Theo điều kiện xác định ở Bước 1, mẫu số phải khác 0. Điều này có nghĩa là biến x không được nhận các giá trị mà chúng ta vừa tìm được.

Vậy, để hàm số y = 5 / (x^2 – 1) xác định, ta cần:

x ≠ 1 VÀ x ≠ -1

Bước 4: Biểu diễn tập xác định

Tập xác định của hàm số là tập hợp tất cả các giá trị của x mà tại đó hàm số xác định. Dựa vào kết quả ở Bước 3, chúng ta thấy rằng x có thể nhận bất kỳ giá trị nào trừ 1 và -1.

Chúng ta có thể biểu diễn tập xác định này bằng các ký hiệu toán học.

Cách 1: Sử dụng ký hiệu tập hợp với điều kiện
Tập xác định, ký hiệu là D, sẽ là:

D = { x ∈ ℝ | x ≠ 1 và x ≠ -1 }

Cách 2: Sử dụng ký hiệu khoảng (hoặc hợp các khoảng)
Trên trục số thực ℝ, chúng ta loại bỏ hai điểm -1 và 1. Điều này chia trục số thành ba khoảng:

– Khoảng từ âm vô cùng đến -1 (không bao gồm -1): (-∞, -1)
– Khoảng từ -1 đến 1 (không bao gồm cả -1 và 1): (-1, 1)
– Khoảng từ 1 đến dương vô cùng (không bao gồm 1): (1, +∞)

Do đó, tập xác định là hợp của ba khoảng này:

D = (-∞, -1) ∪ (-1, 1) ∪ (1, +∞)

Cả hai cách biểu diễn này đều đúng và được chấp nhận. Các em có thể chọn cách nào mình cảm thấy thuận tiện và dễ hiểu nhất.

Kết luận:

Vậy, tập xác định của hàm số y = 5 / (x^2 – 1) là tập hợp tất cả các số thực trừ đi hai số -1 và 1.

D = ℝ \ { -1, 1 }

Hoặc có thể viết là:

D = (-∞, -1) ∪ (-1, 1) ∪ (1, +∞)

Thầy hy vọng với phần trình bày chi tiết từng bước này, các em đã hiểu rõ cách tìm tập xác định cho hàm số dạng phân thức. Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, đừng ngần ngại hỏi thầy nhé! Chúc các em học tốt!