Thầy cho mình câu đố như vậy nè
Đếm số từ 1 đến 30 và một lần chỉ được đếm 3 số …
Đếm số từ 1 đến 30 và một lần chỉ được đếm 3 số và ai giành được con số 30 trước là thắng.
Các bạn biết thì giúp mình tìm ra quy luật đi.
Cảm ơn, mong Mod không xóa
Chúng ta sẽ cùng nhau phân tích bài toán này một cách chi tiết nhé!
Bước 1: Phân tích bài toán và xác định mục tiêu
Mục tiêu của trò chơi là đếm đến số 30. Mỗi lần chơi, người chơi được phép đếm 1, 2 hoặc 3 số liên tiếp. Ai đếm đến số 30 trước sẽ thắng.
Đây là một trò chơi mà cả hai người chơi đều muốn thắng, và họ sẽ cố gắng đi đến số 30 một cách nhanh nhất có thể. Điều này có nghĩa là mỗi người chơi sẽ cố gắng tối ưu hóa lượt đi của mình.
Bước 2: Tìm hiểu các “số chiến thắng” bằng cách đi ngược từ đích đến
Trong các bài toán chiến thuật như thế này, cách hiệu quả nhất để tìm ra quy luật là chúng ta bắt đầu suy nghĩ từ đích đến (số 30) và đi ngược lại. Ai có thể đưa ra con số mà người chơi tiếp theo sẽ thua, thì đó chính là “số chiến thắng” cho mình.
* Nếu ai đó đang ở số 27, 28, hoặc 29, họ có thể đếm thêm 3, 2, hoặc 1 số tương ứng để đến được số 30 và giành chiến thắng. Vì vậy, các số 27, 28, 29 là những vị trí thua cho người đi trước.
* Xét đến số 26. Nếu đến lượt của bạn mà bạn đang ở số 26, bạn có thể đếm thêm 1, 2, hoặc 3 số.
* Nếu bạn đếm 1 số, bạn đến 27. Người tiếp theo sẽ ở 27 và có thể đi tiếp đến 30 để thắng.
* Nếu bạn đếm 2 số, bạn đến 28. Người tiếp theo sẽ ở 28 và có thể đi tiếp đến 30 để thắng.
* Nếu bạn đếm 3 số, bạn đến 29. Người tiếp theo sẽ ở 29 và có thể đi tiếp đến 30 để thắng.
Như vậy, nếu bạn đang ở số 26, dù bạn đi đến đâu, người tiếp theo cũng sẽ ở một trong các số 27, 28, 29 và họ sẽ thắng. Do đó, số 26 là một vị trí thua cho người đi trước.
* Xét đến số 25. Nếu đến lượt của bạn mà bạn đang ở số 25, bạn có thể đếm thêm 1, 2, hoặc 3 số.
* Nếu bạn đếm 1 số, bạn đến 26. Như chúng ta vừa phân tích, số 26 là một vị trí thua cho người đi trước. Điều này có nghĩa là nếu bạn đưa đối thủ vào vị trí 26, thì bạn sẽ là người thắng.
* Vì vậy, nếu bạn ở số 25, bạn nên đếm thêm 1 số để đưa đối thủ về số 26.
Bước 3: Phát hiện quy luật tổng quát
Chúng ta thấy một quy luật bắt đầu xuất hiện: Các số mà người chơi muốn đối thủ của mình đến là 26, 27, 28, 29.
Hãy nhìn vào con số 30. Số lượng số có thể đếm trong mỗi lượt là 1, 2, hoặc 3. Tổng số lượng số có thể đếm trong một lượt là 3. Hãy cộng thêm 1 vào số lượng tối đa có thể đếm trong một lượt: 3 + 1 = 4.
Bây giờ, chúng ta hãy kiểm tra xem liệu các số chia hết cho 4 (khi đi ngược từ 30) có phải là những “số chiến thắng” cho người đi trước hay không.
* Số 30 là mục tiêu.
* Số 30 – 4 = 26. Đây là số mà nếu bạn đưa đối thủ đến đó, họ sẽ thua (vì họ phải đếm 1, 2, hoặc 3 và bạn sẽ đến 27, 28, hoặc 29 và bạn sẽ thắng).
* Số 26 – 4 = 22. Nếu bạn đưa đối thủ đến 22, họ sẽ phải đếm 1 (đến 23), 2 (đến 24), hoặc 3 (đến 25). Cho dù họ đến số nào (23, 24, 25), bạn đều có thể đếm thêm số lượng phù hợp để đưa họ về số 26.
* Nếu họ đến 23, bạn đếm 3 (đến 26).
* Nếu họ đến 24, bạn đếm 2 (đến 26).
* Nếu họ đến 25, bạn đếm 1 (đến 26).
Như vậy, 22 là một “số chiến thắng” cho bạn.
* Tiếp tục: 22 – 4 = 18. Tương tự, nếu bạn đưa đối thủ về 18, họ sẽ không thể đưa bạn về số 22.
* Tiếp tục: 18 – 4 = 14.
* Tiếp tục: 14 – 4 = 10.
* Tiếp tục: 10 – 4 = 6.
* Tiếp tục: 6 – 4 = 2.
Vậy, các “số chiến thắng” (tức là các số mà nếu bạn đưa đối thủ đến đó, bạn sẽ có lợi thế và có thể thắng) là: 2, 6, 10, 14, 18, 22, 26.
Bước 4: Áp dụng quy luật để chơi
Quy luật ở đây là mỗi người chơi muốn đưa người chơi còn lại đến các số có dạng 4k + 2 (với k là số nguyên không âm), bởi vì từ các số này, người chơi tiếp theo không thể nào đến được số tiếp theo trong dãy 4k+2 mà không bị người kia chặn lại để đưa về số 4k+2 tiếp theo.
Cách đơn giản nhất để hiểu quy luật này là chúng ta muốn luôn luôn là người đưa đối thủ về những “số chết” (tức là 2, 6, 10, 14, 18, 22, 26). Nếu bạn là người bắt đầu đếm, bạn có thể chọn số đầu tiên như thế nào để đảm bảo bạn luôn đi theo quy luật này.
Trong trò chơi này, chúng ta đếm từ 1 đến 30. Số lượng số có thể đếm trong một lượt là 1, 2, hoặc 3. Tổng số ô trong một chu kỳ là 3 + 1 = 4.
Nếu bạn là người đi trước, bạn muốn đi đến số 30. Để làm được điều này, bạn muốn đối thủ của mình luôn kết thúc lượt ở các số mà bạn có thể dễ dàng tiếp cận số 30.
Chúng ta nhận thấy rằng các số chiến thắng là các số mà khi cộng thêm số bước đi tối đa (3) vẫn chưa vượt quá 30, và từ đó người chơi tiếp theo sẽ thua.
Hay nói cách khác, các số mà chúng ta muốn tránh để đối thủ của mình đạt tới là các số 27, 28, 29. Nếu đối thủ của bạn ở 27, họ sẽ đến 30. Nếu ở 28, họ đến 30. Nếu ở 29, họ đến 30.
Do đó, chúng ta muốn đưa đối thủ đến số 26.
Số 26 là một số quan trọng. Nếu đối thủ của bạn ở số 26, họ có thể đếm 1 (đến 27), 2 (đến 28), hoặc 3 (đến 29). Dù họ đi đến đâu, bạn đều có thể đi tiếp để đến 30.
* Nếu họ đến 27, bạn đếm 3 (đến 30).
* Nếu họ đến 28, bạn đếm 2 (đến 30).
* Nếu họ đến 29, bạn đếm 1 (đến 30).
Vậy, số 26 là một “số chiến thắng” cho bạn.
Chúng ta có thể tìm ra “số chiến thắng” theo quy luật: 30 trừ đi một số từ 1 đến 3 sao cho số còn lại là một “số chiến thắng”.
Số lượng số tối đa có thể đếm trong một lượt là 3. Ta xét số lượng bước là 4 (số lượt đếm + 1).
Các số mà bạn muốn đối thủ của mình kết thúc lượt đi là các số có dạng 30 – (4*k).
30 – 4*1 = 26
30 – 4*2 = 22
30 – 4*3 = 18
30 – 4*4 = 14
30 – 4*5 = 10
30 – 4*6 = 6
30 – 4*7 = 2
Các số mà người chơi muốn đưa đối thủ đến là: 2, 6, 10, 14, 18, 22, 26.
Nếu bạn là người đi trước:
* Bạn muốn bắt đầu sao cho bạn là người đưa đối thủ đến số 2. Bạn có thể đếm 3 số và kết thúc ở số 3. Khi đó, đối thủ sẽ ở số 1 hoặc 2, tùy bạn chọn bắt đầu như thế nào. Tuy nhiên, để đảm bảo bạn luôn đi theo quy luật, bạn nên cố gắng đi đến số 2. Nếu bạn đếm 2 số và kết thúc ở số 2, bạn sẽ là người đi trước ở số 2.
* Chiến thuật cho người đi trước:
* Bắt đầu đếm: Nếu bạn đi trước, hãy đếm 3 số và dừng lại ở số 3. (Đối thủ của bạn bắt đầu từ 1, họ có thể đếm 1, 2, hoặc 3. Nếu họ đếm 1, đến 2. Nếu họ đếm 2, đến 3. Nếu họ đếm 3, đến 4. Điều này phức tạp hơn một chút).
* Cách đơn giản nhất để giành chiến thắng là luôn cố gắng kết thúc lượt của bạn ở các số 2, 6, 10, 14, 18, 22, 26.
* Nếu bạn đi trước, bạn không thể nào đưa mình đến số 2 ngay lập tức được. Tuy nhiên, bạn có thể cố gắng đưa đối thủ về số 2. Hãy bắt đầu bằng cách đếm 1 số và kết thúc ở số 1. Đối thủ sẽ bắt đầu từ 2.
* Nếu đối thủ đếm 1, họ đến 3. Bạn đếm 3, đến 6.
* Nếu đối thủ đếm 2, họ đến 4. Bạn đếm 2, đến 6.
* Nếu đối thủ đếm 3, họ đến 5. Bạn đếm 1, đến 6.
Bạn luôn có thể đưa đối thủ về số 6.
* Tóm lại quy luật cho người chơi: Số lượng số có thể đếm trong một lượt là từ 1 đến 3. Tổng số bước trong một chu kỳ là 3 + 1 = 4. Bạn muốn đối thủ của mình luôn kết thúc lượt đếm ở các số mà khi bạn đếm tiếp theo, bạn sẽ có thể đưa họ về các số có dạng 30 – 4k.
Các số đích mà bạn muốn đối thủ của mình kết thúc là: 2, 6, 10, 14, 18, 22, 26.
Nếu bạn đi sau, và đối thủ của bạn không đi theo quy luật, bạn có thể tận dụng để thắng.
Nếu bạn đi trước, bạn phải cố gắng đưa đối thủ về số 2. Bạn có thể bắt đầu bằng cách đếm 3 số và kết thúc ở số 3.
* Nếu đối thủ đếm 1 (đến 4), bạn đếm 2 (đến 6).
* Nếu đối thủ đếm 2 (đến 5), bạn đếm 1 (đến 6).
* Nếu đối thủ đếm 3 (đến 6), bạn đã thắng rồi (trường hợp này ít xảy ra).
Lời khuyên cuối cùng: Để giành chiến thắng, bạn cần là người đếm và kết thúc ở các số chia hết cho 4 cộng 2 (nếu bắt đầu từ 0) hoặc các số 2, 6, 10, 14, 18, 22, 26.
Nếu bạn đi sau, bạn chỉ cần làm sao để đối thủ của bạn kết thúc ở những số này.
Nếu bạn đi trước, bạn phải cố gắng đưa đối thủ về số 2. Bằng cách đếm 3 số và kết thúc ở số 3. Khi đó, đối thủ của bạn sẽ bắt đầu đếm từ số 4.
Công thức tổng quát để xác định số chiến thắng (khi kết thúc là N và mỗi lượt có thể đếm từ 1 đến M số):
Số bước trong một chu kỳ là \(M + 1\).
Các số “chết” (số mà người chơi bị đưa đến sẽ thua) là các số có dạng \(N – k \times (M + 1)\) với \(k \ge 1\) sao cho kết quả là dương.
Trong trường hợp này, \(N = 30\) và \(M = 3\).
Số bước trong một chu kỳ là \(3 + 1 = 4\).
Các số chiến thắng cho người đưa đối thủ vào là:
\(30 – 1 \times 4 = 26\)
\(30 – 2 \times 4 = 22\)
\(30 – 3 \times 4 = 18\)
\(30 – 4 \times 4 = 14\)
\(30 – 5 \times 4 = 10\)
\(30 – 6 \times 4 = 6\)
\(30 – 7 \times 4 = 2\)
Để luôn thắng, bạn phải luôn cố gắng đưa đối thủ của mình đến một trong các số trên.
Nếu bạn đi trước, bạn cần bắt đầu lượt đi của mình sao cho sau đó bạn có thể đưa đối thủ về số 2. Bằng cách đếm 3 số và kết thúc ở số 3.
Hy vọng với những phân tích chi tiết này, các em đã hiểu rõ quy luật của trò chơi và có thể tự tin giành chiến thắng. Chúc các em học tốt và luôn vui vẻ với môn Toán nhé!
Nếu như vậy thì mình nghĩ quy luật là:
Bạn chỉ cần giành được số 2, 6, 10, 14, 18, 22, 26, 30 thì bạn sẽ thắng.
Giải thích các bước giải:
Giả sử có \(2\) người chơi \(A, B\)
\(A:\) người thắng
\(B:\) người thua
Để đếm được \(30\) thì \(A\) phải đếm vào \(26\) vì \(B\) đếm và \(27, 28\) hoặc \(29\) thì \(A\) đều đếm được vào \(30\)
Tương tự để đếm được \(26\) thì \(A\) phải đếm và \(22\)
\(\to A\) phải đếm các số là \(2, 6, 10, 14, 18, 22, 26(*)\)
Nếu \(A\) là người đếm trước thì \(A\) phải chọn \(2\to\) dù \(B\) chọn đếm mấy con số cũng không thể đếm đến \(6\to A\) chọn lần lượt được các số trên
\(\to A\) thắng
Nếu \(B\) là người đếm trước (giả sử \(B\) không biết quy luật)
\(\to\)Phải tìm mọi thời điểm để lấy được \(1\) trong các số trong dãy \((*)\) khi đó làm lại theo quy luật
\(\to A\) thắng