thu gọn biểu thức sau: (x+3)³-(x-3)³
Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần vận dụng linh hoạt hai trong số những hằng đẳng thức quen thuộc mà chúng ta đã học, đó là:
1. Hằng đẳng thức Lập phương của một tổng: \( (a+b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ \)
2. Hằng đẳng thức Lập phương của một hiệu: \( (a-b)³ = a³ – 3a²b + 3ab² – b³ \)
Chúng ta sẽ áp dụng lần lượt từng hằng đẳng thức này cho hai phần của biểu thức đã cho.
Bước 1: Áp dụng hằng đẳng thức Lập phương của một tổng cho (x+3)³.
Trong trường hợp này, ta coi \( a = x \) và \( b = 3 \).
Thay vào công thức \( (a+b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ \), ta có:
(x+3)³ = \( x³ + 3 \cdot x² \cdot 3 + 3 \cdot x \cdot 3² + 3³ \)
(x+3)³ = \( x³ + 9x² + 3 \cdot x \cdot 9 + 27 \)
(x+3)³ = \( x³ + 9x² + 27x + 27 \)
Bước 2: Áp dụng hằng đẳng thức Lập phương của một hiệu cho (x-3)³.
Trong trường hợp này, ta coi \( a = x \) và \( b = 3 \).
Thay vào công thức \( (a-b)³ = a³ – 3a²b + 3ab² – b³ \), ta có:
(x-3)³ = \( x³ – 3 \cdot x² \cdot 3 + 3 \cdot x \cdot 3² – 3³ \)
(x-3)³ = \( x³ – 9x² + 3 \cdot x \cdot 9 – 27 \)
(x-3)³ = \( x³ – 9x² + 27x – 27 \)
Bước 3: Thay thế các kết quả vừa tìm được vào biểu thức ban đầu và thực hiện phép trừ.
Biểu thức ban đầu là (x+3)³ – (x-3)³.
Thay thế vào, ta có:
(x+3)³ – (x-3)³ = \( (x³ + 9x² + 27x + 27) – (x³ – 9x² + 27x – 27) \)
Lưu ý quan trọng: Khi thực hiện phép trừ cho một biểu thức có nhiều hạng tử, chúng ta cần đổi dấu tất cả các hạng tử bên trong dấu ngoặc đơn.
Bước 4: Phá bỏ dấu ngoặc và thu gọn các hạng tử đồng dạng.
(x+3)³ – (x-3)³ = \( x³ + 9x² + 27x + 27 – x³ + 9x² – 27x + 27 \)
Bây giờ, chúng ta sẽ nhóm các hạng tử giống nhau lại với nhau:
= \( (x³ – x³) + (9x² + 9x²) + (27x – 27x) + (27 + 27) \)
Thực hiện phép cộng trừ các hạng tử đồng dạng:
= \( 0x³ + 18x² + 0x + 54 \)
= \( 18x² + 54 \)
Vậy, biểu thức (x+3)³-(x-3)³ sau khi thu gọn là \( 18x² + 54 \).
Cô hy vọng các em đã hiểu rõ từng bước giải. Việc nắm vững các hằng đẳng thức sẽ giúp chúng ta giải quyết nhiều bài toán đại số phức tạp một cách nhẹ nhàng hơn. Chúc các em luôn học tốt môn Toán!
Đáp án \(+\) Giải thích các bước giải:
\((x+3)^3 -(x-3)^3\)
\(=x^3 +9x^2 +27x+27-(x^3 -9x^2 +27x-27)\)
\(=x^3 +9x^2 +27x+27-x^3 +9x^2 -27x+27\)
\(=(x^3 -x^3)+(9x^2 +9x^2)+(27x-27x)+(27+27)\)
\(=18x^2 +54\)
___________________________________
Áp dụng HĐT:
\((a+b)^3 =a^3 +3a^2 b+3ab^2 +b^3\)
\((a-b)^3 =a^3 -3a^2 b+3ab^2 -b^3\)
\((x+3)^3-(x-3)^3\)
\(=[(x+3)-(x-3)][(x+3)^2+(x+3)(x-3)+(x-3)^2]\)
\(=(x+3-x+3)(x^2+6x+9+x^2-9+x^2-6x+9)\)
\(=6(3x^2+9)\)
\(=18x^2+54\)
\(———-\)
\(a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\)
\((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\)
\((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\)
\(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\)