Chào các em học sinh thân mến! Cô rất vui được đồng hành cùng các em trong buổi học hôm nay. Chúng ta sẽ cùng nhau chinh phục một bài toán thú vị về lũy thừa, nằm trong chương trình Toán lớp 7 của chúng ta. Bài toán yêu cầu tìm các số nguyên dương m và n sao cho:

2^m – 2^n = 256

Trước hết, chúng ta cần hiểu rõ yêu cầu của đề bài. Chúng ta cần tìm các số nguyên dương m và n thỏa mãn phương trình đã cho. Số nguyên dương là các số 1, 2, 3, …

Bây giờ, chúng ta sẽ đi từng bước để giải bài toán này nhé.

Bước 1: Phân tích phương trình và tìm hiểu mối quan hệ giữa m và n.

Ta có phương trình:
2^m – 2^n = 256

Vì 256 là một số dương, nên 2^m – 2^n > 0. Điều này suy ra 2^m > 2^n.
Trong các lũy thừa có cùng cơ số lớn hơn 1, lũy thừa nào có số mũ lớn hơn thì lũy thừa đó lớn hơn. Do đó, ta có:
m > n

Bước 2: Biến đổi phương trình bằng cách đặt thừa số chung.

Vì m > n, ta có thể đặt 2^n làm thừa số chung trong vế trái của phương trình.
Ta viết lại 2^m như sau: 2^m = 2^(n + (m-n)) = 2^n * 2^(m-n).

Khi đó, phương trình trở thành:
2^n * 2^(m-n) – 2^n = 256

Đặt 2^n làm thừa số chung:
2^n * (2^(m-n) – 1) = 256

Bước 3: Phân tích số 256 thành thừa số nguyên tố.

Chúng ta cần biết 256 là lũy thừa của bao nhiêu của 2. Ta có:
2^1 = 2
2^2 = 4
2^3 = 8
2^4 = 16
2^5 = 32
2^6 = 64
2^7 = 128
2^8 = 256

Vậy, 256 = 2^8.

Thay vào phương trình ở Bước 2:
2^n * (2^(m-n) – 1) = 2^8

Bước 4: Tìm các giá trị cho 2^n và (2^(m-n) – 1).

Bây giờ, chúng ta có một phương trình dạng A * B = C, trong đó A = 2^n và B = (2^(m-n) – 1).
Chúng ta biết rằng 2^n là một lũy thừa của 2, và do đó nó là một số chẵn (trừ trường hợp n=0, nhưng đề bài yêu cầu n là số nguyên dương).
Mặt khác, 2^(m-n) luôn là một số chẵn (vì m-n > 0, tức là m-n >= 1).
Do đó, 2^(m-n) – 1 sẽ là một số lẻ.

Quan sát phương trình 2^n * (2^(m-n) – 1) = 2^8, ta thấy vế trái là tích của một lũy thừa của 2 (chẵn) và một số lẻ. Vế phải là 2^8, một lũy thừa của 2.

Để tích này bằng 2^8, thì thừa số lẻ (2^(m-n) – 1) phải bằng 1. Lý do là vì 2^8 chỉ có thừa số nguyên tố là 2, không có thừa số lẻ nào khác ngoài 1.

Vậy, ta có hai trường hợp có thể xảy ra:

Trường hợp 1: 2^n = 2^8 và 2^(m-n) – 1 = 1.

Từ 2^n = 2^8, suy ra n = 8.
Từ 2^(m-n) – 1 = 1, ta có 2^(m-n) = 1 + 1 = 2.
Vì 2 = 2^1, nên m-n = 1.

Thay n = 8 vào m-n = 1:
m – 8 = 1
m = 1 + 8
m = 9

Kiểm tra lại: m = 9, n = 8. Cả hai đều là số nguyên dương.
2^9 – 2^8 = 512 – 256 = 256. Thỏa mãn.

Trường hợp 2: 2^n = 2^k và 2^(m-n) – 1 = 2^(8-k), với k là một số nguyên dương nhỏ hơn 8.

Tuy nhiên, như đã phân tích ở trên, (2^(m-n) – 1) là một số lẻ. Vì vậy, nếu 2^(m-n) – 1 = 2^(8-k), thì 2^(8-k) phải là số lẻ. Điều này chỉ xảy ra khi số mũ của nó bằng 0.
Tức là 8-k = 0, suy ra k = 8.
Khi đó, 2^(8-k) = 2^0 = 1.
Và 2^n = 2^k = 2^8.
Trường hợp này quay trở lại Trường hợp 1.

Có một cách phân tích khác cho Trường hợp 2:
Chúng ta có 2^n là một ước của 2^8. Các ước của 2^8 là 2^0, 2^1, 2^2, …, 2^8.
Vì n là số nguyên dương, nên 2^n có thể là 2^1, 2^2, …, 2^8.
Tức là n có thể là 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.

Xét các giá trị có thể của n:

Nếu n = 1:
2^1 * (2^(m-1) – 1) = 2^8
2 * (2^(m-1) – 1) = 256
2^(m-1) – 1 = 256 / 2 = 128
2^(m-1) = 128 + 1 = 129
129 không phải là lũy thừa của 2, nên trường hợp này loại.

Nếu n = 2:
2^2 * (2^(m-2) – 1) = 2^8
4 * (2^(m-2) – 1) = 256
2^(m-2) – 1 = 256 / 4 = 64
2^(m-2) = 64 + 1 = 65
65 không phải là lũy thừa của 2, nên trường hợp này loại.

…

Chúng ta thấy rằng, cho đến khi 2^(m-n) – 1 = 1, thì chúng ta mới tìm được nghiệm nguyên.

Bước 5: Kết luận.

Từ các phân tích trên, chúng ta chỉ tìm được một cặp giá trị nguyên dương cho m và n thỏa mãn phương trình.
Đó là:
n = 8
m = 9

Vậy, các số nguyên dương m và n cần tìm là m = 9 và n = 8.

Cô hy vọng các em đã hiểu rõ từng bước giải của bài toán này. Chúng ta đã sử dụng các kiến thức về lũy thừa, phân tích số ra thừa số nguyên tố và biến đổi đại số. Nếu có bất kỳ câu hỏi nào, các em cứ mạnh dạn hỏi cô nhé. Buổi học của chúng ta hôm nay đến đây là kết thúc. Hẹn gặp lại các em trong buổi học tiếp theo!