Chào các em học sinh lớp 7 yêu quý! Hôm nay, cô trò chúng ta sẽ cùng nhau chinh phục một bài toán thú vị về số nguyên tố. Các em hãy mở Sách giáo khoa trang 25 và theo dõi bài tập sau đây nhé.

Chúng ta cần tìm các số nguyên tố x, y thỏa mãn phương trình:
x^2 – 2y^2 = 1

Trước hết, chúng ta hãy nhắc lại định nghĩa số nguyên tố. Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1, chỉ có hai ước là 1 và chính nó. Các số nguyên tố nhỏ nhất là 2, 3, 5, 7, 11, 13, …

Bây giờ, chúng ta sẽ đi vào phân tích bài toán.
Phương trình đã cho là x^2 – 2y^2 = 1.
Chúng ta có thể biến đổi phương trình này một chút để dễ dàng xét các trường hợp.
Chuyển vế 2y^2 sang bên phải, ta được:
x^2 = 1 + 2y^2

Bây giờ, chúng ta sẽ xét các trường hợp có thể xảy ra với số nguyên tố x.

Trường hợp 1: x = 2
Nếu x = 2, thay vào phương trình ta có:
2^2 – 2y^2 = 1
4 – 2y^2 = 1
4 – 1 = 2y^2
3 = 2y^2
y^2 = 3/2
Rõ ràng, 3/2 không phải là bình phương của một số nguyên, nên y không phải là số nguyên. Do đó, trường hợp này không thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Trường hợp 2: x là một số nguyên tố lẻ.
Các số nguyên tố lẻ là 3, 5, 7, 11, …
Nếu x là số nguyên tố lẻ, thì x^2 sẽ là một số lẻ.
Tại sao x^2 lại là số lẻ? Vì (số lẻ) * (số lẻ) = số lẻ.
Ví dụ: 3^2 = 9 (lẻ), 5^2 = 25 (lẻ).

Bây giờ, chúng ta xem xét phương trình ban đầu: x^2 – 2y^2 = 1
Vì x là số nguyên tố lẻ, x^2 là số lẻ.
Ta có: x^2 = 1 + 2y^2
Vế phải: 1 là số lẻ, 2y^2 là số chẵn (vì nhân với 2).
Số lẻ + Số chẵn = Số lẻ.
Như vậy, x^2 = 1 + 2y^2 là một số lẻ. Điều này phù hợp với nhận định của chúng ta rằng x^2 là số lẻ khi x là số nguyên tố lẻ.

Bây giờ, chúng ta hãy thử xét trường hợp y.
Nếu y = 2 (số nguyên tố chẵn duy nhất).
Thay y = 2 vào phương trình x^2 – 2y^2 = 1:
x^2 – 2 * (2^2) = 1
x^2 – 2 * 4 = 1
x^2 – 8 = 1
x^2 = 1 + 8
x^2 = 9
x = 3 (vì x là số nguyên tố nên ta lấy căn bậc hai dương).
Số 3 là số nguyên tố.
Vậy, ta tìm được một cặp số nguyên tố (x, y) thỏa mãn phương trình là (3, 2).

Còn trường hợp nào nữa không? Chúng ta đã xét x = 2 và x là số nguyên tố lẻ.
Chúng ta cũng đã xét y = 2.
Vậy còn trường hợp y là một số nguyên tố lẻ?

Nếu y là số nguyên tố lẻ.
Khi đó, y^2 cũng là số lẻ.
2y^2 sẽ là số chẵn.
Phương trình x^2 = 1 + 2y^2.
Vế phải: 1 (lẻ) + 2y^2 (chẵn) = số lẻ.
Vậy x^2 là số lẻ, suy ra x phải là số nguyên tố lẻ.

Chúng ta đã biết:
x^2 – 2y^2 = 1
(x – 1)(x + 1) = 2y^2

Vì x và y là các số nguyên tố, x > 1 và y > 1.
Do đó x^2 > 1, nên x^2 – 2y^2 = 1 có nghĩa là x^2 > 2y^2.
Vì x là số nguyên tố, x >= 2.
Nếu x = 2, ta đã loại.
Nếu x = 3, ta có 3^2 – 2y^2 = 1 => 9 – 2y^2 = 1 => 2y^2 = 8 => y^2 = 4 => y = 2. y = 2 là số nguyên tố. Vậy (x, y) = (3, 2) là một nghiệm.

Bây giờ, xét x > 3.
Nếu x là số nguyên tố lẻ lớn hơn 3, thì x có dạng 3k + 1 hoặc 3k + 2 (với k là số tự nhiên).
Hoặc một cách khác, mọi số nguyên tố lớn hơn 3 đều không chia hết cho 3.
Do đó, x chia 3 dư 1 hoặc dư 2.
x^2 chia 3 dư 1 (vì 1^2 = 1, 2^2 = 4 chia 3 dư 1).
Tức là x^2 đồng dư với 1 (mod 3).
Ta có: x^2 = 1 + 2y^2
Xét modulo 3:
x^2 (mod 3) = (1 + 2y^2) (mod 3)
1 (mod 3) = (1 + 2y^2) (mod 3)

Nếu y = 3 (số nguyên tố chia hết cho 3 duy nhất).
x^2 – 2 * (3^2) = 1
x^2 – 2 * 9 = 1
x^2 – 18 = 1
x^2 = 19
19 không phải là bình phương của một số nguyên. Nên y không thể là 3.

Vậy y là số nguyên tố khác 3.
Do đó, y không chia hết cho 3.
y chia 3 dư 1 hoặc dư 2.
y^2 chia 3 dư 1.
y^2 đồng dư với 1 (mod 3).

Thay vào biểu thức modulo 3 ta có:
1 (mod 3) = (1 + 2 * 1) (mod 3)
1 (mod 3) = (1 + 2) (mod 3)
1 (mod 3) = 3 (mod 3)
1 (mod 3) = 0 (mod 3)
Điều này vô lý! 1 không thể đồng dư với 0 theo modulo 3.

Vậy, trường hợp y là số nguyên tố lẻ (khác 3) và x là số nguyên tố lẻ (lớn hơn 3) là không thể xảy ra.

Chúng ta đã xét:
– x = 2 (loại)
– x = 3, y = 2 (thỏa mãn)
– x là số nguyên tố lẻ > 3, y là số nguyên tố lẻ (loại do mâu thuẫn modulo 3).

Ngoài ra, chúng ta cần kiểm tra xem liệu có trường hợp nào y là số nguyên tố chẵn khác ngoài 2 hay không. Số nguyên tố chẵn duy nhất là 2, nên y chỉ có thể là 2.

Chúng ta quay lại phương trình ban đầu: x^2 – 2y^2 = 1
Ta đã thấy nghiệm duy nhất là x = 3 và y = 2.

Tóm lại các bước làm:
1. Biến đổi phương trình về dạng x^2 = 1 + 2y^2.
2. Xét trường hợp x = 2, thấy không thỏa mãn.
3. Xét trường hợp x là số nguyên tố lẻ.
4. Xét trường hợp y = 2, tìm được nghiệm (x, y) = (3, 2).
5. Xét trường hợp y là số nguyên tố lẻ. Sử dụng tính chất chia hết cho 3 để chứng minh trường hợp này là không thể xảy ra.

Vậy, cặp số nguyên tố (x, y) thỏa mãn đề bài chỉ có một là (3, 2).

Cô hy vọng qua bài tập này, các em đã ôn lại được cách xét các trường hợp của số nguyên tố và sử dụng phép đồng dư để chứng minh.
Chúc các em học tốt!