Chào các em học sinh yêu quý của thầy! Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau chinh phục một bài toán khá thú vị trong chương trình Toán lớp 6, đó là bài toán tìm các số nguyên x thỏa mãn điều kiện chia hết. Bài toán này đòi hỏi chúng ta phải vận dụng linh hoạt kiến thức về phép chia hết và các tính chất liên quan.

Chúng ta cùng đi vào chi tiết bài tập sau nhé:

Tìm các số nguyên x sao cho 4x – 3 chia hết cho x – 2.

Để giải bài toán này, thầy sẽ hướng dẫn các em từng bước một, giống như chúng ta đang ở trên lớp vậy.

Bước 1: Phân tích đề bài và xác định yêu cầu

Đề bài yêu cầu chúng ta tìm tất cả các giá trị nguyên của x sao cho biểu thức (4x – 3) có thể chia hết cho biểu thức (x – 2). “Chia hết” ở đây có nghĩa là phép chia này cho kết quả là một số nguyên, không có số dư.

Bước 2: Biến đổi biểu thức để đưa về dạng quen thuộc

Khi gặp bài toán chia hết của hai biểu thức chứa biến, chúng ta thường tìm cách biến đổi một trong hai biểu thức sao cho chúng có một phần chung. Ở đây, ta thấy biểu thức (4x – 3) có chứa số hạng 4x, còn biểu thức (x – 2) có chứa số hạng x. Để tạo ra sự liên hệ, ta có thể nhân biểu thức (x – 2) với một số nào đó để có được số hạng chứa x giống với số hạng chứa x trong biểu thức (4x – 3).

Thầy sẽ nhân biểu thức (x – 2) với 4:
Ta có: 4 * (x – 2) = 4x – 8.

Bây giờ, chúng ta sẽ xem mối liên hệ giữa (4x – 3) và (4x – 8).

Nếu (4x – 3) chia hết cho (x – 2), và chúng ta biết rằng 4 * (x – 2) cũng chia hết cho (x – 2) (vì 4 là một số nguyên), thì ta có thể suy luận như sau:

Ta có thể viết lại biểu thức (4x – 3) như sau:
4x – 3 = (4x – 8) + 5

Tại sao lại làm như vậy?
Bởi vì chúng ta muốn xuất hiện biểu thức (4x – 8) mà chúng ta vừa tạo ra từ việc nhân (x – 2) với 4.

Bây giờ, đề bài yêu cầu:
(4x – 3) chia hết cho (x – 2)

Thay biểu thức (4x – 3) đã biến đổi vào, ta có:
(4x – 8) + 5 chia hết cho (x – 2)

Chúng ta biết rằng (4x – 8) chia hết cho (x – 2) (vì nó bằng 4 nhân với (x – 2)).

Dựa vào tính chất của phép chia hết: Nếu a chia hết cho c và b chia hết cho c, thì a + b cũng chia hết cho c.
Áp dụng ngược lại: Nếu a + b chia hết cho c, và b chia hết cho c, thì a phải chia hết cho c.

Trong trường hợp này:
– (4x – 8) + 5 là tổng.
– (x – 2) là số chia.
– (4x – 8) là một phần của tổng.

Vì (4x – 8) + 5 chia hết cho (x – 2) và (4x – 8) cũng chia hết cho (x – 2), suy ra 5 phải chia hết cho (x – 2).

Bước 3: Tìm các ước của số dư và lập luận

Chúng ta đã đi đến kết luận quan trọng: 5 chia hết cho (x – 2).
Điều này có nghĩa là (x – 2) phải là một ước của 5.

Các ước của 5 là những số nguyên mà khi 5 chia cho nó thì được một số nguyên.
Các ước của 5 bao gồm: 1, -1, 5, -5.

Vậy, ta có các trường hợp sau cho (x – 2):
Trường hợp 1: x – 2 = 1
Trường hợp 2: x – 2 = -1
Trường hợp 3: x – 2 = 5
Trường hợp 4: x – 2 = -5

Bước 4: Tìm giá trị của x trong từng trường hợp

Bây giờ, chúng ta sẽ lần lượt giải các phương trình nhỏ này để tìm ra các giá trị nguyên của x.

Trường hợp 1: x – 2 = 1
Để tìm x, ta cộng 2 vào cả hai vế của phương trình:
x = 1 + 2
x = 3

Trường hợp 2: x – 2 = -1
Cộng 2 vào cả hai vế:
x = -1 + 2
x = 1

Trường hợp 3: x – 2 = 5
Cộng 2 vào cả hai vế:
x = 5 + 2
x = 7

Trường hợp 4: x – 2 = -5
Cộng 2 vào cả hai vế:
x = -5 + 2
x = -3

Bước 5: Kiểm tra lại (Tùy chọn nhưng nên làm để chắc chắn)

Để đảm bảo kết quả của chúng ta là chính xác, các em có thể thử thay các giá trị x vừa tìm được vào biểu thức ban đầu để xem có thỏa mãn điều kiện chia hết hay không.

* Với x = 3:
4x – 3 = 4(3) – 3 = 12 – 3 = 9
x – 2 = 3 – 2 = 1
9 chia hết cho 1. (Đúng)

* Với x = 1:
4x – 3 = 4(1) – 3 = 4 – 3 = 1
x – 2 = 1 – 2 = -1
1 chia hết cho -1. (Đúng)

* Với x = 7:
4x – 3 = 4(7) – 3 = 28 – 3 = 25
x – 2 = 7 – 2 = 5
25 chia hết cho 5. (Đúng)

* Với x = -3:
4x – 3 = 4(-3) – 3 = -12 – 3 = -15
x – 2 = -3 – 2 = -5
-15 chia hết cho -5. (Đúng)

Tất cả các giá trị đều thỏa mãn.

Kết luận

Vậy, các số nguyên x thỏa mãn yêu cầu bài toán là: 3, 1, 7, -3.

Chúng ta có thể viết tập hợp các giá trị x là {-3, 1, 3, 7}.

Các em thấy đó, bài toán này không quá khó nếu chúng ta biết cách biến đổi và vận dụng tính chất chia hết một cách hợp lý. Chúc các em luôn học tốt môn Toán nhé!