Chào các em, thầy sẽ hướng dẫn các em giải chi tiết bài tập này. Đây là một dạng toán rất hay gặp trong chương trình Toán lớp 6, giúp chúng ta rèn luyện tư duy về ước và bội của số nguyên. Chúng ta hãy cùng nhau phân tích và giải quyết từng câu nhé.

Phương pháp chung cho dạng bài này là biến đổi phương trình về dạng tích của hai biểu thức chứa x và y bằng một hằng số. Sau đó, chúng ta sẽ sử dụng kiến thức về ước của một số nguyên để giải.

a) (2x+1)(y-2)=12

Vì x và y là các số nguyên nên \(2x+1\) và \(y-2\) cũng là các số nguyên.
Theo đề bài, tích của chúng bằng 12, do đó \(2x+1\) và \(y-2\) phải là các ước nguyên của 12.

Các ước nguyên của 12 là: \( \{-12; -6; -4; -3; -2; -1; 1; 2; 3; 4; 6; 12\} \).

Chúng ta có một nhận xét quan trọng: Vì x là số nguyên nên \(2x\) là số chẵn, do đó \(2x+1\) phải là một số lẻ.
Vậy, \(2x+1\) chỉ có thể nhận các giá trị là các ước lẻ của 12. Đó là: \( \{-3; -1; 1; 3\} \).

Từ đây, chúng ta lập bảng để tìm các giá trị tương ứng của x và y:

2x+1	-3	-1	1	3
y-2	-4	-12	12	4
x	-2	-1	0	1
y	-2	-10	14	6
Kết luận	Thỏa mãn	Thỏa mãn	Thỏa mãn	Thỏa mãn

Vậy các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn là: (-2; -2), (-1; -10), (0; 14), (1; 6).

b) 3xy-x+3y=9

Với dạng này, chúng ta cần biến đổi để đưa về dạng tích. Thầy sẽ hướng dẫn các em phương pháp nhóm các hạng tử:

Nhóm hai hạng tử đầu tiên: \( (3xy-x)+3y=9 \)
Đặt nhân tử chung là x ra ngoài: \( x(3y-1)+3y=9 \)
Bây giờ, chúng ta muốn tạo ra một biểu thức \(3y-1\) nữa để có nhân tử chung. Ta sẽ thêm và bớt 1:
\( x(3y-1) + (3y-1) + 1 = 9 \)
\( (x+1)(3y-1) = 9-1 \)
\( (x+1)(3y-1) = 8 \)

Đến đây, bài toán đã trở về dạng giống câu a. Vì x, y là số nguyên nên \(x+1\) và \(3y-1\) là các ước nguyên của 8.
Các ước nguyên của 8 là: \( \{-8; -4; -2; -1; 1; 2; 4; 8\} \).

Ta lại có một nhận xét: Vì y là số nguyên nên \(3y\) chia hết cho 3, do đó \(3y-1\) khi chia cho 3 sẽ dư 2 (hoặc dư -1).
Trong các ước của 8, các số chia cho 3 dư 2 là: \( \{-4; -1; 2; 8\} \).
Vậy \(3y-1\) chỉ có thể nhận các giá trị này. Chúng ta lập bảng:

3y-1	-4	-1	2	8
x+1	-2	-8	4	1
y	-1	0	1	3
x	-3	-9	3	0
Kết luận	Thỏa mãn	Thỏa mãn	Thỏa mãn	Thỏa mãn

Vậy các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn là: (-3; -1), (-9; 0), (3; 1), (0; 3).

c) xy^2+2x-y^2=8

Tương tự câu b, chúng ta sẽ nhóm các hạng tử để đưa về dạng tích.
Nhóm các hạng tử có chứa x: \( (xy^2+2x)-y^2=8 \)
Đặt nhân tử chung là x: \( x(y^2+2)-y^2=8 \)
Chúng ta muốn tạo ra biểu thức \(y^2+2\). Ta sẽ bớt 2 ở cả hai vế:
\( x(y^2+2) – y^2 – 2 = 8 – 2 \)
\( x(y^2+2) – (y^2+2) = 6 \)
Đặt nhân tử chung là \(y^2+2\): \( (x-1)(y^2+2) = 6 \)

Đến đây, vì x, y là các số nguyên nên \(x-1\) và \(y^2+2\) là các ước nguyên của 6.
Các ước nguyên của 6 là: \( \{-6; -3; -2; -1; 1; 2; 3; 6\} \).

Các em hãy chú ý điều kiện của biểu thức \(y^2+2\):
Vì y là số nguyên nên \(y^2 \ge 0\).
Suy ra \(y^2+2 \ge 2\).
Do đó, \(y^2+2\) chỉ có thể nhận các giá trị là ước của 6 và lớn hơn hoặc bằng 2. Đó là các giá trị: \( \{2; 3; 6\} \).

Chúng ta xét từng trường hợp:
– Trường hợp 1: \(y^2+2 = 2\)
Suy ra \(y^2=0\), vậy \(y=0\).
Khi đó, \(x-1 = 6 \div 2 = 3\), suy ra \(x=4\).
Ta có cặp số (4; 0).

– Trường hợp 2: \(y^2+2 = 3\)
Suy ra \(y^2=1\), vậy \(y=1\) hoặc \(y=-1\).
Khi đó, \(x-1 = 6 \div 3 = 2\), suy ra \(x=3\).
Ta có hai cặp số (3; 1) và (3; -1).

– Trường hợp 3: \(y^2+2 = 6\)
Suy ra \(y^2=4\), vậy \(y=2\) hoặc \(y=-2\).
Khi đó, \(x-1 = 6 \div 6 = 1\), suy ra \(x=2\).
Ta có hai cặp số (2; 2) và (2; -2).

Vậy các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn là: (4; 0), (3; 1), (3; -1), (2; 2), (2; -2).

Hy vọng bài giải chi tiết này sẽ giúp các em hiểu rõ và tự tin hơn khi gặp các dạng toán tương tự. Chúc các em học tốt