Tìm cặp số x,y biết: 1+3y12=1+5y5x=1+7y4x

Chào các em học sinh! Hôm nay, thầy sẽ hướng dẫn chúng ta giải một bài toán về tỉ lệ thức, một dạng bài rất quen thuộc và quan trọng trong chương trình Toán lớp 7. Chúng ta sẽ sử dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau để tìm ra cặp số $x,y$ thỏa mãn điều kiện đề bài.

Phương pháp giải:

Khi gặp một dãy các tỉ số bằng nhau, chúng ta có thể áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau để tạo ra các tỉ số mới có giá trị bằng các tỉ số ban đầu. Cụ thể, nếu $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$, thì $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{a-c}{b-d}$ (với điều kiện $b\ne d$ và $b-d\ne 0$). Việc này giúp chúng ta có thể loại bỏ bớt các biến số hoặc đơn giản hóa biểu thức để tìm ra giá trị của các biến. Ở đây, ta nhận thấy hai tỉ số cuối có mẫu số chứa $x$ và tử số có các hệ số của $y$ khác nhau, rất thuận lợi để sử dụng phép trừ tử và mẫu.

Bài giải chi tiết:

Theo đề bài, chúng ta có dãy tỉ số bằng nhau sau:

$\frac{1+3y}{12}=\frac{1+5y}{5x}=\frac{1+7y}{4x}$

Bước 1: Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau cho hai tỉ số cuối.

Ta xét hai tỉ số $\frac{1+5y}{5x}$ và $\frac{1+7y}{4x}$.

Trước hết, các mẫu số phải khác 0, nên $5x\ne 0$ và $4x\ne 0$, từ đó suy ra $x\ne 0$.

Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

$\frac{1+5y}{5x}=\frac{1+7y}{4x}=\frac{(1+7y)-(1+5y)}{4x-5x}$

Thực hiện phép trừ ở tử số và mẫu số:

$=\frac{1+7y-1-5y}{-x}$

$=\frac{2y}{-x}$

Vậy, ta có dãy tỉ số bằng nhau mới:

$\frac{1+3y}{12}=\frac{1+5y}{5x}=\frac{1+7y}{4x}=\frac{2y}{-x}$

Bước 2: Tìm giá trị của $y$.

Từ đẳng thức trên, ta xét hai tỉ số sau:

$\frac{1+7y}{4x}=\frac{2y}{-x}$

Vì $x\ne 0$, ta có thể nhân chéo:

$(1+7y)\cdot (-x)=2y\cdot 4x$

$-x-7xy=8xy$

Vì $x\ne 0$, ta có thể chia cả hai vế cho $x$:

$-1-7y=8y$

Chuyển các hạng tử chứa $y$ sang một vế:

$-1=8y+7y$

$-1=15y$

$y=-\frac{1}{15}$

Bước 3: Tìm giá trị của $x$.

Bây giờ chúng ta đã có giá trị của $y$. Ta sẽ thay giá trị này vào đẳng thức giữa tỉ số đầu tiên và tỉ số vừa tìm được:

$\frac{1+3y}{12}=\frac{2y}{-x}$

Thay $y=-\frac{1}{15}$ vào tử số của hai tỉ số:

Tử số thứ nhất: $1+3y=1+3\cdot (-\frac{1}{15})=1-\frac{3}{15}=1-\frac{1}{5}=\frac{5}{5}-\frac{1}{5}=\frac{4}{5}$

Tử số thứ hai: $2y=2\cdot (-\frac{1}{15})=-\frac{2}{15}$

Khi đó, phương trình trở thành:

$\frac{\frac{4}{5}}{12}=\frac{-\frac{2}{15}}{-x}$

Đơn giản hóa tỉ số bên trái:

$\frac{4}{5}\cdot \frac{1}{12}=\frac{4}{5\cdot 12}=\frac{4}{60}=\frac{1}{15}$

Đơn giản hóa tỉ số bên phải:

$\frac{-\frac{2}{15}}{-x}=\frac{\frac{2}{15}}{x}$

Vậy ta có phương trình:

$\frac{1}{15}=\frac{\frac{2}{15}}{x}$

Áp dụng tính chất tỉ lệ thức (tích chéo bằng nhau):

$1\cdot x=15\cdot \frac{2}{15}$

$x=2$

Kết luận:

Vậy, cặp số $x,y$ cần tìm là $x=2$ và $y=-\frac{1}{15}$.

Thầy hy vọng qua bài giải này, các em đã nắm vững hơn về cách áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau để giải các bài toán tìm $x,y$. Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, đừng ngần ngại hỏi lại thầy nhé!