Chào các em học sinh thân mến! Hôm nay, thầy/cô sẽ cùng các em đi giải một bài toán về tìm điểm dừng của hàm nhiều biến. Dạng bài này rất quan trọng trong chương trình Toán lớp 12 mới, đặc biệt là khi chúng ta nghiên cứu về cực trị của hàm số.

Chúng ta sẽ áp dụng kiến thức về đạo hàm riêng và hệ phương trình để giải quyết bài toán này.

Bước 1: Nhắc lại khái niệm điểm dừng

Điểm dừng của một hàm số nhiều biến \(f(x, y)\) là điểm \((x_0, y_0)\) mà tại đó, tất cả các đạo hàm riêng của hàm số đều bằng 0. Nghĩa là:

\[ \frac{\partial f}{\partial x}(x_0, y_0) = 0 \]
và
\[ \frac{\partial f}{\partial y}(x_0, y_0) = 0 \]

Điểm dừng là ứng cử viên cho các điểm cực trị (cực đại, cực tiểu) của hàm số.

Bước 2: Tính các đạo hàm riêng của hàm số

Cho hàm số \(f(x,y) = \frac{1}{3}x^3 + xy^2 + 4xy\).

Đầu tiên, chúng ta tính đạo hàm riêng của \(f\) theo biến \(x\), coi \(y\) là hằng số:

\[ \frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{1}{3}x^3 + xy^2 + 4xy \right) \]
\[ \frac{\partial f}{\partial x} = \frac{1}{3}(3x^2) + y^2 + 4y \]
\[ \frac{\partial f}{\partial x} = x^2 + y^2 + 4y \]

Tiếp theo, chúng ta tính đạo hàm riêng của \(f\) theo biến \(y\), coi \(x\) là hằng số:

\[ \frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{1}{3}x^3 + xy^2 + 4xy \right) \]
\[ \frac{\partial f}{\partial y} = 0 + x(2y) + 4x \]
\[ \frac{\partial f}{\partial y} = 2xy + 4x \]

Bước 3: Giải hệ phương trình đạo hàm riêng bằng 0

Để tìm điểm dừng, chúng ta cho các đạo hàm riêng bằng 0 và giải hệ phương trình:

\[ \begin{cases} x^2 + y^2 + 4y = 0 \quad &(1) \\ 2xy + 4x = 0 \quad &(2) \end{cases} \]

Bây giờ, chúng ta sẽ giải hệ phương trình này.

Từ phương trình (2), ta có thể đặt nhân tử chung \(2x\):

\[ 2x(y + 2) = 0 \]

Điều này dẫn đến hai trường hợp:

Trường hợp 1: \(2x = 0 \implies x = 0\).

Trường hợp 2: \(y + 2 = 0 \implies y = -2\).

Bây giờ, chúng ta sẽ lần lượt thay các trường hợp này vào phương trình (1) để tìm các cặp \((x, y)\) thỏa mãn.

Bước 4: Xét các trường hợp và tìm điểm dừng

Trường hợp 1: \(x = 0\)

Thay \(x = 0\) vào phương trình (1):

\[ (0)^2 + y^2 + 4y = 0 \]
\[ y^2 + 4y = 0 \]
\[ y(y + 4) = 0 \]

Từ đây, ta có hai giá trị cho \(y\):
– \(y = 0\)
– \(y = -4\)

Vậy, trong trường hợp này, chúng ta có hai điểm dừng là \((0, 0)\) và \((0, -4)\).

Trường hợp 2: \(y = -2\)

Thay \(y = -2\) vào phương trình (1):

\[ x^2 + (-2)^2 + 4(-2) = 0 \]
\[ x^2 + 4 – 8 = 0 \]
\[ x^2 – 4 = 0 \]
\[ x^2 = 4 \]

Từ đây, ta có hai giá trị cho \(x\):
– \(x = 2\)
– \(x = -2\)

Vậy, trong trường hợp này, chúng ta có hai điểm dừng là \((2, -2)\) và \((-2, -2)\).

Bước 5: Tổng kết các điểm dừng

Kết hợp tất cả các trường hợp, chúng ta tìm được tất cả các điểm dừng của hàm số \(f(x,y) = \frac{1}{3}x^3 + xy^2 + 4xy\) là:

• (0, 0)
• (0, -4)
• (2, -2)
• (-2, -2)

Đây là các điểm mà tại đó, đạo hàm riêng theo \(x\) và đạo hàm riêng theo \(y\) đều bằng 0. Các em cần nhớ, để xác định xem điểm dừng có phải là cực trị hay không, chúng ta cần sử dụng thêm tiêu chuẩn đạo hàm cấp hai (ma trận Hesse), nhưng yêu cầu của bài toán chỉ là tìm điểm dừng.

Các em hãy xem lại các bước làm và cố gắng tự mình giải lại bài tập này để nắm vững kiến thức nhé. Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, đừng ngần ngại hỏi thầy/cô!