Chào các em học sinh lớp 8 yêu quý! Hôm nay, cô sẽ cùng các em chinh phục một dạng toán tìm giá trị lớn nhất của biểu thức. Chúng ta sẽ cùng nhau phân tích và tìm ra lời giải thật chi tiết nhé.

Bài toán yêu cầu chúng ta tìm giá trị lớn nhất của biểu thức B = 2x – 2x^2 + 3.

Để tìm giá trị lớn nhất của một biểu thức bậc hai, chúng ta thường sử dụng phương pháp đưa về dạng bình phương của một hiệu hoặc một tổng, kết hợp với hằng đẳng thức.

Bây giờ, chúng ta cùng bắt đầu giải bài toán này từng bước một.

Bước 1: Sắp xếp lại biểu thức theo lũy thừa giảm dần của biến x.
Biểu thức B = 2x – 2x^2 + 3 có thể viết lại là:
B = -2x^2 + 2x + 3
Việc sắp xếp này giúp chúng ta dễ dàng nhận dạng đây là một tam thức bậc hai và áp dụng các kỹ thuật biến đổi phù hợp.

Bước 2: Đưa hệ số của x^2 ra ngoài dấu ngoặc.
Ở đây, hệ số của x^2 là -2. Chúng ta sẽ nhóm -2 ra khỏi hai số hạng đầu tiên:
B = -2(x^2 – x) + 3
Lý do chúng ta làm vậy là để hệ số của x^2 bên trong ngoặc bằng 1, điều này rất thuận tiện cho việc áp dụng hằng đẳng thức sau này.

Bước 3: Biến đổi biểu thức trong ngoặc về dạng bình phương của một hiệu.
Ta nhận thấy biểu thức trong ngoặc là x^2 – x. Để biến đổi về dạng (a – b)^2 = a^2 – 2ab + b^2, ta cần xác định a và b.
Ở đây, a^2 tương ứng với x^2, vậy a = x.
Số hạng -2ab tương ứng với -x. Ta có -2 x b = -x. Suy ra 2b = 1, hay b = 1/2.
Vậy, ta cần thêm vào (hoặc bớt đi) b^2 = (1/2)^2 = 1/4 để tạo thành bình phương.
Ta sẽ thêm và bớt 1/4 vào trong ngoặc:
B = -2(x^2 – x + 1/4 – 1/4) + 3
Bây giờ, ta nhóm ba số hạng đầu tiên trong ngoặc lại để tạo thành bình phương:
B = -2((x^2 – x + 1/4) – 1/4) + 3
Ta áp dụng hằng đẳng thức: x^2 – 2*x*(1/2) + (1/2)^2 = (x – 1/2)^2.
Vậy, biểu thức trở thành:
B = -2((x – 1/2)^2 – 1/4) + 3
Ở bước này, chúng ta sử dụng hằng đẳng thức (a – b)^2 để đưa biểu thức về dạng bình phương, đây là một kỹ thuật rất phổ biến trong các bài toán tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất.

Bước 4: Phân phối hệ số -2 vào trong ngoặc.
B = -2(x – 1/2)^2 -2*(-1/4) + 3
B = -2(x – 1/2)^2 + 1/2 + 3

Bước 5: Rút gọn biểu thức.
Ta cộng các hằng số lại với nhau:
1/2 + 3 = 1/2 + 6/2 = 7/2.
Vậy, biểu thức B có dạng cuối cùng là:
B = -2(x – 1/2)^2 + 7/2

Bước 6: Xác định giá trị lớn nhất của biểu thức.
Ta xét các thành phần của biểu thức B:
– (x – 1/2)^2 luôn lớn hơn hoặc bằng 0, với mọi giá trị của x. (Vì bình phương của một số thực luôn không âm).
– Do đó, -2(x – 1/2)^2 sẽ luôn nhỏ hơn hoặc bằng 0. (Khi nhân một số không âm với -2, kết quả sẽ là một số không dương).
– Giá trị lớn nhất của -2(x – 1/2)^2 là 0, và điều này xảy ra khi (x – 1/2)^2 = 0, tức là khi x = 1/2.
– Khi -2(x – 1/2)^2 đạt giá trị lớn nhất là 0, thì biểu thức B sẽ đạt giá trị lớn nhất của nó.

B = 0 + 7/2 = 7/2
Vậy, giá trị lớn nhất của biểu thức B là 7/2.

Giá trị lớn nhất này đạt được khi x = 1/2.

Kết luận:
Giá trị lớn nhất của biểu thức B = 2x – 2x^2 + 3 là 7/2.

Cô hy vọng các em đã hiểu rõ từng bước giải. Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, đừng ngần ngại hỏi cô nhé!