Chào các em! Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số. Bài toán này nằm trong chương hàm số lượng giác và đồ thị của hàm số. Chúng ta sẽ vận dụng các kiến thức đã học để tìm ra đáp án nhé.

Đề bài yêu cầu tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số:
y = cos(2x) – 2sin(x) – 1

Bây giờ, chúng ta sẽ đi từng bước để giải bài toán này.

Bước 1: Biến đổi hàm số về một hàm theo một tỉ số lượng giác duy nhất.

Các em nhớ lại công thức lượng giác liên quan đến cos(2x) nhé. Chúng ta có ba công thức cho cos(2x) là:
cos(2x) = cos^2(x) – sin^2(x)
cos(2x) = 2cos^2(x) – 1
cos(2x) = 1 – 2sin^2(x)

Trong hàm số của chúng ta có chứa sin(x), nên việc biến đổi cos(2x) về dạng chứa sin(x) sẽ thuận tiện hơn. Chúng ta chọn công thức thứ ba: cos(2x) = 1 – 2sin^2(x).

Thay công thức này vào hàm số y ban đầu:
y = (1 – 2sin^2(x)) – 2sin(x) – 1

Bây giờ, chúng ta rút gọn biểu thức:
y = 1 – 2sin^2(x) – 2sin(x) – 1
y = -2sin^2(x) – 2sin(x)

Bước 2: Đặt ẩn phụ để đưa về bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một hàm đa thức.

Chúng ta thấy trong biểu thức của y chỉ còn chứa sin(x). Vì vậy, chúng ta sẽ đặt ẩn phụ cho sin(x).
Đặt t = sin(x)

Các em nhớ rằng, giá trị của hàm sin(x) luôn nằm trong khoảng từ -1 đến 1. Nghĩa là:
-1 ≤ sin(x) ≤ 1

Do đó, khi đặt t = sin(x), chúng ta có điều kiện cho t là:
-1 ≤ t ≤ 1

Thay t vào biểu thức của y, ta được một hàm số bậc hai theo biến t:
y = -2t^2 – 2t

Bây giờ, bài toán của chúng ta đã trở thành tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số bậc hai y = -2t^2 – 2t với điều kiện -1 ≤ t ≤ 1.

Bước 3: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số bậc hai trên một đoạn.

Hàm số chúng ta cần xét là một hàm bậc hai: y = -2t^2 – 2t. Đây là một parabol có bề lõm quay xuống vì hệ số a = -2 < 0. Để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số này trên đoạn [-1, 1], chúng ta cần xét các yếu tố sau: 1. Giá trị của hàm số tại các điểm mút của đoạn. 2. Giá trị của hàm số tại đỉnh của parabol, nếu đỉnh nằm trong đoạn đang xét. Trước hết, chúng ta tìm tọa độ đỉnh của parabol y = -2t^2 - 2t. Hoành độ đỉnh được tính bằng công thức: t_i = -b / (2a). Ở đây, a = -2 và b = -2. Vậy, t_i = -(-2) / (2 * -2) = 2 / (-4) = -1/2. Bây giờ, chúng ta kiểm tra xem đỉnh t_i = -1/2 có nằm trong đoạn [-1, 1] hay không. -1 ≤ -1/2 ≤ 1. Đúng, đỉnh nằm trong đoạn. Bây giờ, chúng ta sẽ tính giá trị của hàm số y tại các điểm cần thiết: * Tại các điểm mút của đoạn:
* Khi t = -1:
y = -2(-1)^2 – 2(-1) = -2(1) + 2 = -2 + 2 = 0
* Khi t = 1:
y = -2(1)^2 – 2(1) = -2(1) – 2 = -2 – 2 = -4

* Tại đỉnh của parabol (vì đỉnh nằm trong đoạn):
* Khi t = -1/2:
y = -2(-1/2)^2 – 2(-1/2) = -2(1/4) + 1 = -1/2 + 1 = 1/2

Bước 4: So sánh các giá trị tìm được để xác định giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.

Chúng ta đã tính được các giá trị của y tại các điểm quan trọng:
y = 0 (khi t = -1)
y = -4 (khi t = 1)
y = 1/2 (khi t = -1/2)

Bây giờ, chúng ta so sánh ba giá trị này: 0, -4, 1/2.
Giá trị lớn nhất là giá trị lớn nhất trong các giá trị này, tức là 1/2.
Giá trị nhỏ nhất là giá trị nhỏ nhất trong các giá trị này, tức là -4.

Kết luận:

Vậy, giá trị lớn nhất của hàm số y = cos(2x) – 2sin(x) – 1 là 1/2.
Và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = cos(2x) – 2sin(x) – 1 là -4.

Các em thấy đó, chúng ta đã giải bài toán bằng cách biến đổi về hàm đa thức và xét trên một đoạn. Đây là một phương pháp rất hiệu quả. Các em hãy ôn tập lại các bước này để có thể áp dụng cho các bài toán tương tự nhé.