Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 4x^2+ 8x – 2
Giúp mình với
Sẽ vote 5⭐+ctlhn+…
Giúp mình với
Sẽ vote 5⭐+ctlhn+♥️
Chúng ta sẽ cùng nhau phân tích và giải bài toán này một cách chi tiết, từng bước một, đảm bảo các em đều hiểu rõ.
Đề bài yêu cầu tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 4x^2 + 8x – 2
Bước 1: Biến đổi biểu thức về dạng bình phương của một hiệu hoặc một tổng.
Mục tiêu của chúng ta là đưa biểu thức về dạng \( (ax+b)^2 + c \) hoặc \( -(ax+b)^2 + c \). Trong trường hợp này, vì hệ số của \( x^2 \) là dương (là 4), chúng ta sẽ hướng tới dạng \( (ax+b)^2 + c \).
Nhìn vào biểu thức \( 4x^2 + 8x – 2 \), chúng ta nhận thấy \( 4x^2 \) chính là bình phương của \( 2x \). Vậy, chúng ta sẽ nhóm 3 số hạng đầu và cố gắng tạo thành một bình phương hoàn chỉnh.
Ta có: \( 4x^2 + 8x \)
Để tạo thành bình phương của một tổng \( (A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2 \), ta xác định \( A = 2x \).
Vậy \( 2AB = 2 \cdot (2x) \cdot B = 4xB \).
Từ biểu thức ban đầu, ta có \( 8x \), vậy \( 4xB = 8x \), suy ra \( B = 2 \).
Như vậy, bình phương của \( (2x+2) \) sẽ là:
\( (2x+2)^2 = (2x)^2 + 2 \cdot (2x) \cdot 2 + 2^2 = 4x^2 + 8x + 4 \)
Bây giờ, ta quay lại biểu thức ban đầu: \( 4x^2 + 8x – 2 \).
Chúng ta thấy phần \( 4x^2 + 8x \) giống với phần đầu của \( (2x+2)^2 \).
Chúng ta có thể viết lại biểu thức như sau:
\( 4x^2 + 8x – 2 = (4x^2 + 8x + 4) – 4 – 2 \)
Ở đây, chúng ta đã cộng thêm 4 vào để tạo thành bình phương hoàn chỉnh \( (2x+2)^2 \), nhưng để không làm thay đổi giá trị của biểu thức ban đầu, chúng ta phải trừ đi 4.
Bây giờ, ta có:
\( (4x^2 + 8x + 4) – 4 – 2 = (2x+2)^2 – 6 \)
Vậy, biểu thức ban đầu đã được biến đổi thành \( (2x+2)^2 – 6 \).
Bước 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức đã biến đổi.
Chúng ta đã có biểu thức dưới dạng \( (2x+2)^2 – 6 \).
Chúng ta biết rằng với mọi giá trị của \( x \), bình phương của một số thực luôn không âm, tức là:
\( (2x+2)^2 \ge 0 \) với mọi \( x \).
Dấu “=” xảy ra khi \( 2x+2 = 0 \).
Giải phương trình này:
\( 2x = -2 \)
\( x = -1 \)
Bây giờ, chúng ta xét biểu thức \( (2x+2)^2 – 6 \).
Vì \( (2x+2)^2 \ge 0 \), nên khi trừ đi 6, giá trị nhỏ nhất mà biểu thức này có thể đạt được là khi \( (2x+2)^2 \) đạt giá trị nhỏ nhất, tức là bằng 0.
Do đó:
\( (2x+2)^2 – 6 \ge 0 – 6 \)
\( (2x+2)^2 – 6 \ge -6 \)
Vậy, giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( 4x^2 + 8x – 2 \) là -6.
Giá trị nhỏ nhất này đạt được khi \( x = -1 \).
Kết luận:
Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( 4x^2 + 8x – 2 \) là -6.
Các em thấy không, bài toán này không hề khó nếu chúng ta biết cách biến đổi biểu thức về dạng hằng đẳng thức. Đây là một kỹ năng rất quan trọng mà các em cần luyện tập thường xuyên.
Nếu có bất kỳ câu hỏi nào, đừng ngần ngại hỏi cô nhé!
Đáp án + Giải thích các bước giải :
\(4x^2 +8x-2\)
\(= 4(x^2 +2x -1/2)\)
\(= 4(x^2 + 2 . x . 1 + 1 -3/2)\)
\(= 4(x+1)^2 – 6\)
Ta có :
\(4(x+1)^2 \ge 0\)
\(<=> 4(x+1)^2 -6 \ge -6\)
Dấu \(=\) xảy ra :
\(<=> x +1 =0\)
\(<=> x = -1\)
Vậy Min \(= -6 <=> x =-1\)
\(\\\)
\(4x^2 +8x – 2\)
\(= 4 (x^2 + 2x – 2/4)\)
\(= 4 (x^2 + 2x . 1 + 1 – 1 -2/4)\)
\(= 4 (x^2 +2x . 1 +1^2 – 3/2)\)
\(= 4 (x+1)^2 – 6\)
Vì \((x+1)^2 ≥0∀x\)
\(-> 4 (x+1)^2 ≥0∀x\)
\(->4 (x+1)^2-6 ≥ -6∀x\)
Dấu “\(=\)” xảy ra khi :
\(↔ (x+1)^2=0\)
\(↔x+1=0\)
\(↔x=-1\)
Vậy GTNN của BT là \(-6 ↔x=-1\)