Chào các em học sinh yêu quý! Hôm nay, cô trò mình sẽ cùng nhau chinh phục một dạng bài tập rất hay và quan trọng trong chương trình Toán lớp 7, đó là tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức. Chúng ta sẽ dựa vào kiến thức đã học trong Sách giáo khoa để giải quyết từng bài toán một cách chi tiết và dễ hiểu nhất.

Bây giờ, chúng ta cùng bắt đầu với bài tập đầu tiên.

a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = 2.|x-1| + 4

Trước hết, các em hãy nhớ lại cho cô về giá trị tuyệt đối của một số. Giá trị tuyệt đối của một số luôn là một số không âm. Nghĩa là, với mọi số thực x, ta luôn có:
\( |x-1| \geq 0 \)

Bây giờ, chúng ta hãy quan sát biểu thức A. Nó bao gồm hai phần: 2 nhân với \( |x-1| \) và cộng với 4.
Vì \( |x-1| \geq 0 \), nên khi nhân với 2, ta vẫn giữ nguyên chiều bất đẳng thức:
\( 2.|x-1| \geq 2.0 \)
\( 2.|x-1| \geq 0 \)

Tiếp theo, chúng ta cộng thêm 4 vào cả hai vế của bất đẳng thức này:
\( 2.|x-1| + 4 \geq 0 + 4 \)
\( A \geq 4 \)

Như vậy, chúng ta đã chỉ ra được rằng giá trị của biểu thức A luôn lớn hơn hoặc bằng 4. Để tìm giá trị nhỏ nhất của A, chúng ta cần xem xét liệu A có thể bằng 4 hay không.

A bằng 4 khi và chỉ khi \( 2.|x-1| = 0 \). Điều này xảy ra khi:
\( |x-1| = 0 \)
\( x-1 = 0 \)
\( x = 1 \)

Vậy, khi \( x = 1 \), giá trị của biểu thức A là:
A = 2.|1-1| + 4 = 2.|0| + 4 = 2.0 + 4 = 4.

Do đó, giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là 4.

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B = 5+2√1+ \(x^{2}\)

Các em thân mến, bài toán này có chứa căn bậc hai. Trong chương trình lớp 7, chúng ta chưa học về căn bậc hai của một số âm. Tuy nhiên, chúng ta đã biết rằng biểu thức dưới dấu căn phải không âm.

Hãy xem xét biểu thức dưới dấu căn: \( 1+x^2 \).
Với mọi số thực x, ta luôn có \( x^2 \geq 0 \).
Do đó, khi cộng thêm 1 vào cả hai vế, ta được:
\( x^2 + 1 \geq 0 + 1 \)
\( 1+x^2 \geq 1 \)

Vì \( 1+x^2 \geq 1 \), nên \( \sqrt{1+x^2} \) xác định và \( \sqrt{1+x^2} \geq \sqrt{1} \).
\( \sqrt{1+x^2} \geq 1 \)

Bây giờ, chúng ta tiếp tục với biểu thức B. Ta có 2 nhân với \( \sqrt{1+x^2} \).
\( 2\sqrt{1+x^2} \geq 2.1 \)
\( 2\sqrt{1+x^2} \geq 2 \)

Cuối cùng, chúng ta cộng thêm 5 vào cả hai vế:
\( 5 + 2\sqrt{1+x^2} \geq 5 + 2 \)
\( B \geq 7 \)

Như vậy, giá trị nhỏ nhất của biểu thức B có thể là 7. Chúng ta cần kiểm tra xem liệu B có thể đạt được giá trị 7 hay không.

B bằng 7 khi và chỉ khi \( 2\sqrt{1+x^2} = 2 \). Điều này xảy ra khi:
\( \sqrt{1+x^2} = 1 \)

Để hai căn bậc hai bằng nhau thì hai biểu thức dưới dấu căn cũng phải bằng nhau và bằng 1:
\( 1+x^2 = 1 \)
\( x^2 = 0 \)
\( x = 0 \)

Vậy, khi \( x = 0 \), giá trị của biểu thức B là:
B = 5 + 2\(\sqrt{1+0^2}\) = 5 + 2\(\sqrt{1}\) = 5 + 2.1 = 5 + 2 = 7.

Do đó, giá trị nhỏ nhất của biểu thức B là 7.

c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức C = \( \frac{-7}{|2x – 5| + 1} \)

Bài toán này có chứa phân số với tử số là một số âm và mẫu số chứa giá trị tuyệt đối. Các em hãy nhớ lại quy tắc tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của phân số.

Trước hết, chúng ta xem xét mẫu số: \( |2x – 5| + 1 \).
Theo tính chất của giá trị tuyệt đối, ta luôn có:
\( |2x – 5| \geq 0 \)

Khi cộng thêm 1 vào cả hai vế, ta được:
\( |2x – 5| + 1 \geq 0 + 1 \)
\( |2x – 5| + 1 \geq 1 \)

Bây giờ, chúng ta xét phân số C. Tử số của phân số là -7 (một số âm cố định). Mẫu số \( |2x – 5| + 1 \) luôn lớn hơn hoặc bằng 1.
Để phân số có giá trị nhỏ nhất, khi tử số là âm, thì mẫu số phải có giá trị dương và càng lớn càng tốt.

Tuy nhiên, ở đây mẫu số \( |2x – 5| + 1 \) có giá trị nhỏ nhất là 1. Khi mẫu số có giá trị nhỏ nhất (dương), thì phân số sẽ có giá trị lớn nhất (dương, nếu tử dương, hoặc âm nhất nếu tử âm).

Cụ thể, ta có \( |2x – 5| + 1 \geq 1 \).
Khi chia cả hai vế của bất đẳng thức cho \( |2x – 5| + 1 \) (là một số dương nên chiều bất đẳng thức không đổi), và nhân với -7 (là một số âm nên chiều bất đẳng thức đổi chiều):
\( \frac{-7}{|2x – 5| + 1} \leq \frac{-7}{1} \)
\( C \leq -7 \)

Như vậy, giá trị của biểu thức C luôn nhỏ hơn hoặc bằng -7. Để tìm giá trị nhỏ nhất, chúng ta cần xem xét liệu C có thể đạt được giá trị -7 hay không.

C bằng -7 khi và chỉ khi mẫu số \( |2x – 5| + 1 \) có giá trị nhỏ nhất, tức là bằng 1.
Điều này xảy ra khi:
\( |2x – 5| + 1 = 1 \)
\( |2x – 5| = 0 \)
\( 2x – 5 = 0 \)
\( 2x = 5 \)
\( x = \frac{5}{2} \)

Vậy, khi \( x = \frac{5}{2} \), giá trị của biểu thức C là:
C = \( \frac{-7}{|\frac{5}{2}*2 – 5| + 1} \) = \( \frac{-7}{|5 – 5| + 1} \) = \( \frac{-7}{|0| + 1} \) = \( \frac{-7}{0 + 1} \) = \( \frac{-7}{1} \) = -7.

Do đó, giá trị nhỏ nhất của biểu thức C là -7.

Chúc mừng các em đã hoàn thành bài tập! Các em thấy không, chỉ cần nắm vững kiến thức về giá trị tuyệt đối và các quy tắc biến đổi bất đẳng thức cơ bản, chúng ta có thể dễ dàng tìm được giá trị nhỏ nhất của các biểu thức này. Hãy ôn tập kỹ bài này và chúng ta sẽ tiếp tục với những bài tập thú vị khác trong buổi học tới nhé!