Tìm giá trị nhỏ nhất của: x^2-6x+8
Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp biến đổi biểu thức về dạng bình phương của một hiệu, cộng hoặc trừ đi một hằng số. Đây là một kỹ thuật rất quan trọng và sẽ giúp ích cho các em rất nhiều trong chương trình Toán học lớp 8 và các lớp sau này.
Chúng ta cùng bắt đầu nhé!
Bước 1: Quan sát biểu thức và xác định mục tiêu
Biểu thức của chúng ta là \(x^2 – 6x + 8\). Đây là một tam thức bậc hai với biến \(x\). Chúng ta muốn tìm giá trị nhỏ nhất mà biểu thức này có thể đạt được.
Bước 2: Nhận dạng phần có thể tạo thành bình phương của một hiệu
Các em hãy nhớ lại hằng đẳng thức bình phương của một hiệu: \((a-b)^2 = a^2 – 2ab + b^2\).
Trong biểu thức \(x^2 – 6x + 8\), phần \(x^2 – 6x\) gợi cho chúng ta nhớ đến \(a^2 – 2ab\).
Ở đây, \(a^2\) chính là \(x^2\), vậy \(a = x\).
Còn \(-2ab\) là \(-6x\). Vì \(a=x\), nên ta có \(-2xb = -6x\). Từ đó, ta suy ra \(b = 3\).
Bước 3: Biến đổi biểu thức về dạng bình phương của một hiệu
Dựa vào phân tích ở Bước 2, ta thấy phần \(x^2 – 6x\) sẽ tạo thành một phần của \((x-3)^2\).
Ta có \((x-3)^2 = x^2 – 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 = x^2 – 6x + 9\).
Bây giờ, ta xem lại biểu thức ban đầu: \(x^2 – 6x + 8\).
Chúng ta muốn tạo ra \(x^2 – 6x + 9\), nhưng biểu thức chỉ có \(+8\).
Vì vậy, ta sẽ “thêm bớt” 9 để có được bình phương:
\(x^2 – 6x + 8 = (x^2 – 6x + 9) – 9 + 8\)
Bước 4: Rút gọn và đánh giá biểu thức
Tiếp tục biến đổi biểu thức đã có ở Bước 3:
\(x^2 – 6x + 8 = (x – 3)^2 – 1\)
Bây giờ, chúng ta hãy phân tích biểu thức \((x-3)^2 – 1\).
Ta biết rằng với mọi số thực \(x\), bình phương của một số luôn luôn không âm. Tức là:
\((x-3)^2 \ge 0\) với mọi \(x\).
Giá trị nhỏ nhất của \((x-3)^2\) là 0, đạt được khi \(x-3 = 0\), hay \(x = 3\).
Do đó, giá trị nhỏ nhất của biểu thức \((x-3)^2 – 1\) sẽ đạt được khi \((x-3)^2\) đạt giá trị nhỏ nhất của nó (là 0).
Khi đó, giá trị của biểu thức sẽ là:
\(0 – 1 = -1\)
Bước 5: Kết luận
Vậy, giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(x^2 – 6x + 8\) là -1.
Giá trị này đạt được khi \(x = 3\).
Cô hy vọng các em đã hiểu rõ từng bước của bài toán này. Hãy luyện tập thêm với các bài tập tương tự để thành thạo phương pháp này nhé! Chúc các em học tốt!
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Ta có :
\(\begin{array}{l}
{x^2} – 6x + 8\\
= {x^2} – 2.x.3 + 9 – 1\\
= {\left( {x – 3} \right)^2} – 1
\end{array}\)
Vì \({\left( {x – 3} \right)^2} \ge 0\,\,\left( {\forall x} \right)\) nên \({\left( {x – 3} \right)^2} – 1 \ge 0 – 1 = \left( { – 1} \right)\)
Vậy giá trị nhỏ nhất của \({x^2} – 6x + 8\) là \(-1\) và đạt được khi \(x-3=0\), hay \(x=3.\)