tìm giới hạn lim=n^4 / ( n +1 ) (2 +n) (n^2 + 1)

Chào các em học sinh thân mến!

Với bài toán tìm giới hạn của dãy số $\frac{n^4}{(n+1)(2+n)(n^2+1)}$ khi $n\to \infty$, đây là một dạng bài rất quen thuộc trong chương trình Toán 11. Chúng ta sẽ giải quyết bài toán này từng bước một nhé!

Giải thích phương pháp:
Khi gặp giới hạn của một phân thức mà cả tử số và mẫu số đều tiến tới vô cùng ($\frac{\infty }{\infty }$) khi $n\to \infty$, phương pháp tiêu chuẩn và hiệu quả nhất là chúng ta sẽ chia cả tử số và mẫu số cho lũy thừa cao nhất của $n$ ở mẫu số (hoặc của cả biểu thức). Mục đích của việc này là để biến các hạng tử có dạng $\frac{c}{n^k}$ thành $0$ khi $n\to \infty$, từ đó đưa biểu thức về dạng xác định và dễ dàng tính toán.

Lời giải chi tiết:

Ta cần tìm giới hạn $$L=\underset{n\to \infty }{lim}\frac{n^4}{(n+1)(2+n)(n^2+1)}$$

Bước 1: Xác định bậc của tử số và mẫu số.
Tử số là $n^4$, có bậc là 4.
Mẫu số là $(n+1)(2+n)(n^2+1)$. Khi khai triển, hạng tử có bậc cao nhất của mẫu số sẽ là $n\cdot n\cdot n^2=n^4$. Vậy mẫu số cũng có bậc là 4.
Khi $n\to \infty$, cả tử số và mẫu số đều tiến tới $\infty$. Đây là dạng vô định $\frac{\infty }{\infty }$, ta cần biến đổi.

Bước 2: Phân tích các nhân tử ở mẫu số để làm xuất hiện $n$ với lũy thừa cao nhất.
Chúng ta sẽ rút $n$ ra khỏi từng ngoặc ở mẫu số:

$$(n+1)=n(1+\frac{1}{n})$$

$$(2+n)=n(\frac{2}{n}+1)$$

$$(n^2+1)=n^2(1+\frac{1}{n^2})$$

Vậy, mẫu số có thể viết lại là:

$$(n+1)(2+n)(n^2+1)=n(1+\frac{1}{n})\cdot n(1+\frac{2}{n})\cdot n^2(1+\frac{1}{n^2})$$

$$=n^4(1+\frac{1}{n})(1+\frac{2}{n})(1+\frac{1}{n^2})$$

Bước 3: Thay thế vào biểu thức giới hạn và rút gọn.

Bây giờ, chúng ta thay biểu thức đã biến đổi của mẫu số vào giới hạn ban đầu:

$$L=\underset{n\to \infty }{lim}{n}^4{n}^4(1+\frac{1}{n})(1+\frac{2}{n})(1+\frac{1}{n^2})$$

Rút gọn $n^4$ ở cả tử số và mẫu số:

$$L=\underset{n\to \infty }{lim}\frac{1}{(1+\frac{1}{n})(1+\frac{2}{n})(1+\frac{1}{n^2})}$$

Bước 4: Áp dụng các quy tắc tính giới hạn cơ bản.
Ta biết rằng với mọi hằng số $c$ và số nguyên dương $k$, giới hạn của $\frac{c}{n^k}$ khi $n\to \infty$ là $0$. Tức là: $$\underset{n\to \infty }{lim}\frac{c}{n^k}=0$$
Do đó:

$$\underset{n\to \infty }{lim}\frac{1}{n}=0$$

$$\underset{n\to \infty }{lim}\frac{2}{n}=0$$

$$\underset{n\to \infty }{lim}\frac{1}{n^2}=0$$

Áp dụng tính chất giới hạn của tổng và tích, ta có:

$$\underset{n\to \infty }{lim}(1+\frac{1}{n})=1+\underset{n\to \infty }{lim}\frac{1}{n}=1+0=1$$

$$\underset{n\to \infty }{lim}(1+\frac{2}{n})=1+\underset{n\to \infty }{lim}\frac{2}{n}=1+0=1$$

$$\underset{n\to \infty }{lim}(1+\frac{1}{n^2})=1+\underset{n\to \infty }{lim}\frac{1}{n^2}=1+0=1$$

Bước 5: Tính giới hạn cuối cùng.

Thay các giới hạn vừa tìm được vào biểu thức $L$:

$$L=\frac{1}{\left(\underset{n\to \infty }{lim}\right(1+\frac{1}{n}\left)\right)\cdot \left(\underset{n\to \infty }{lim}\right(1+\frac{2}{n}\left)\right)\cdot \left(\underset{n\to \infty }{lim}\right(1+\frac{1}{n^2}\left)\right)}$$

$$L=\frac{1}{1\cdot 1\cdot 1}$$

$$L=1$$

Kết luận:
Vậy, giới hạn của biểu thức đã cho là $1$.

Thầy hy vọng lời giải chi tiết này đã giúp các em hiểu rõ cách làm bài tập dạng này. Hãy luyện tập thêm để thành thạo nhé!