Chào các em học sinh yêu quý! Hôm nay, thầy trò chúng ta sẽ cùng nhau “chinh phục” một bài toán tìm giá trị lớn nhất của hàm số lượng giác nhé. Đây là một dạng bài rất hay gặp và quan trọng trong chương trình Toán 12 của chúng ta đấy. Để giải quyết bài này, chúng ta sẽ vận dụng linh hoạt các kiến thức về công thức lượng giác và khảo sát hàm số bậc hai.

Đề bài: Tìm giá trị lớn nhất (GTLN) của hàm số: \(y=\sin^2x+\cos x-1\)

Giờ chúng ta hãy cùng nhau đi vào lời giải chi tiết từng bước nhé!

Lời giải chi tiết:

Để tìm giá trị lớn nhất của hàm số \(y=\sin^2x+\cos x-1\), chúng ta sẽ cố gắng đưa hàm số này về một dạng đơn giản hơn, mà chúng ta đã quen thuộc cách tìm GTLN.

Bước 1: Biến đổi hàm số về một biến số duy nhất

Chúng ta thấy trong hàm số có cả \(\sin^2x\) và \(\cos x\). Để thuận tiện cho việc khảo sát, ta sẽ sử dụng công thức lượng giác cơ bản: \(\sin^2x + \cos^2x = 1\). Từ đó, ta có thể biểu diễn \(\sin^2x\) theo \(\cos x\):

\[\sin^2x = 1 – \cos^2x\]

Thay biểu thức này vào hàm số đã cho, ta được:

\[y = (1 – \cos^2x) + \cos x – 1\]

Tiến hành rút gọn biểu thức:

\[y = 1 – \cos^2x + \cos x – 1\]

\[y = -\cos^2x + \cos x\]

Bước 2: Đặt ẩn phụ và xác định miền giá trị của ẩn phụ

Để làm cho bài toán trở nên dễ nhìn và quen thuộc hơn, chúng ta sẽ đặt ẩn phụ.

Đặt \(t = \cos x\).

Vì \(\cos x\) là hàm số lượng giác luôn có giá trị nằm trong đoạn từ -1 đến 1, nên miền giá trị của \(t\) sẽ là:

\[-1 \le t \le 1\]

Khi đó, hàm số \(y\) trở thành một hàm số bậc hai theo biến \(t\):

\[f(t) = -t^2 + t\]
Với điều kiện \(t \in [-1, 1]\).

Bước 3: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số bậc hai trên đoạn đã cho

Hàm số \(f(t) = -t^2 + t\) là một parabol có hệ số của \(t^2\) là \(a = -1 < 0\), nên parabol này quay bề lõm xuống dưới. Giá trị lớn nhất của nó (nếu đỉnh parabol nằm trong miền xác định) sẽ đạt tại đỉnh parabol.

Tọa độ đỉnh của parabol \(f(t) = at^2 + bt + c\) là \(t_0 = -\frac{b}{2a}\).

Trong trường hợp này, \(a = -1\) và \(b = 1\).

Vậy, tọa độ \(t_0\) của đỉnh parabol là:

\[t_0 = -\frac{1}{2(-1)} = -\frac{1}{-2} = \frac{1}{2}\]

Kiểm tra xem \(t_0 = \frac{1}{2}\) có thuộc đoạn \([-1, 1]\) hay không. Rõ ràng \(\frac{1}{2} \in [-1, 1]\).

Do đó, giá trị lớn nhất của hàm số \(f(t)\) trên đoạn \([-1, 1]\) sẽ đạt được tại \(t = t_0 = \frac{1}{2}\).

Tính giá trị của hàm số tại \(t = \frac{1}{2}\):

\[f\left(\frac{1}{2}\right) = -\left(\frac{1}{2}\right)^2 + \frac{1}{2}\]

\[f\left(\frac{1}{2}\right) = -\frac{1}{4} + \frac{1}{2}\]

\[f\left(\frac{1}{2}\right) = -\frac{1}{4} + \frac{2}{4} = \frac{1}{4}\]

Để chắc chắn, chúng ta cũng có thể kiểm tra giá trị của hàm số tại các điểm mút của đoạn \([-1, 1]\):

Tại \(t = -1\):

\[f(-1) = -(-1)^2 + (-1) = -1 – 1 = -2\]

Tại \(t = 1\):

\[f(1) = -(1)^2 + 1 = -1 + 1 = 0\]

So sánh các giá trị \(\frac{1}{4}\), \(-2\), \(0\), ta thấy giá trị lớn nhất là \(\frac{1}{4}\).

Bước 4: Kết luận

Vậy, giá trị lớn nhất của hàm số \(y = \sin^2x + \cos x – 1\) là \(\frac{1}{4}\).

Giá trị này đạt được khi \(t = \cos x = \frac{1}{2}\).

Các giá trị của \(x\) để \(\cos x = \frac{1}{2}\) là \(x = \frac{\pi}{3} + k2\pi\) hoặc \(x = -\frac{\pi}{3} + k2\pi\) (với \(k \in \mathbb{Z}\)). Điều này chứng tỏ giá trị lớn nhất này tồn tại và được đạt tới.

Tổng kết:

Qua bài toán này, chúng ta đã ôn lại cách biến đổi biểu thức lượng giác, sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ để đưa về hàm số quen thuộc (ở đây là hàm số bậc hai), và sau đó tìm giá trị lớn nhất của hàm số trên một đoạn. Đây là một phương pháp rất hiệu quả và thường dùng trong các bài toán tìm GTLN, GTNN đấy các em!

Chúc các em học tốt và luôn yêu thích môn Toán nhé!