Chào các em, hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài tập rất hay về tìm giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số lượng giác. Đây là một dạng bài quan trọng trong chương trình Toán 11.

Phân tích bài toán:
Hàm số của chúng ta có dạng lũy thừa bậc 6, khá cồng kềnh. Mục tiêu của chúng ta là sử dụng các hằng đẳng thức và công thức lượng giác quen thuộc để biến đổi, hạ bậc và đưa hàm số về một dạng đơn giản hơn, từ đó có thể đánh giá được miền giá trị của nó.

Bài giải chi tiết:

Bước 1: Biến đổi hàm số sử dụng hằng đẳng thức.

Ta có hàm số: \(y = \sin^6 x + \cos^6 x\)

Các em hãy để ý rằng ta có thể viết lại hàm số dưới dạng tổng của hai lập phương như sau:
\[y = (\sin^2 x)^3 + (\cos^2 x)^3\]
Bây giờ, chúng ta sẽ áp dụng hằng đẳng thức đáng nhớ: \(A^3 + B^3 = (A+B)(A^2 – AB + B^2)\).
Với \(A = \sin^2 x\) và \(B = \cos^2 x\), ta có:
\[y = (\sin^2 x + \cos^2 x)((\sin^2 x)^2 – \sin^2 x \cos^2 x + (\cos^2 x)^2)\]
Chúng ta biết công thức lượng giác cơ bản: \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\). Thay vào biểu thức trên, ta được:
\[y = 1 \cdot ((\sin^2 x)^2 – \sin^2 x \cos^2 x + (\cos^2 x)^2)\]
\[y = \sin^4 x + \cos^4 x – \sin^2 x \cos^2 x\]
Bước 2: Tiếp tục biến đổi để hạ bậc.

Biểu thức vẫn còn khá phức tạp. Ta sẽ xử lý cụm \(\sin^4 x + \cos^4 x\). Các em hãy nhớ lại cách biến đổi quen thuộc:
\[\sin^4 x + \cos^4 x = (\sin^2 x + \cos^2 x)^2 – 2\sin^2 x \cos^2 x = 1^2 – 2\sin^2 x \cos^2 x = 1 – 2\sin^2 x \cos^2 x\]
Thay kết quả này vào biểu thức của \(y\), ta có:
\[y = (1 – 2\sin^2 x \cos^2 x) – \sin^2 x \cos^2 x\]
\[y = 1 – 3\sin^2 x \cos^2 x\]
Đến đây, biểu thức đã gọn hơn rất nhiều!

Bước 3: Sử dụng công thức nhân đôi để đơn giản hóa.

Biểu thức của chúng ta hiện tại là \(y = 1 – 3\sin^2 x \cos^2 x\). Ta thấy có sự xuất hiện của \(\sin x \cos x\), điều này gợi cho chúng ta sử dụng công thức góc nhân đôi: \(\sin(2x) = 2\sin x \cos x\).

Từ công thức này, ta suy ra: \(\sin x \cos x = \frac{1}{2}\sin(2x)\).
Do đó: \(\sin^2 x \cos^2 x = (\frac{1}{2}\sin(2x))^2 = \frac{1}{4}\sin^2(2x)\).

Bây giờ, ta thay vào biểu thức của \(y\):
\[y = 1 – 3 \cdot \left(\frac{1}{4}\sin^2(2x)\right)\]
\[y = 1 – \frac{3}{4}\sin^2(2x)\]
Như vậy, chúng ta đã đưa được hàm số ban đầu về một hàm số chỉ phụ thuộc vào \(\sin^2(2x)\). Việc tìm GTLN, GTNN bây giờ đã trở nên rất đơn giản.

Bước 4: Đánh giá và tìm GTLN, GTNN.

Ta có tập giá trị của hàm sin là \(-1 \le \sin(2x) \le 1\).
Khi bình phương, ta có: \(0 \le \sin^2(2x) \le 1\).

Bây giờ, chúng ta sẽ “xây dựng” lại hàm số \(y\) từ bất đẳng thức này.
Nhân tất cả các vế với \(-\frac{3}{4}\). Các em chú ý khi nhân với số âm thì dấu bất đẳng thức sẽ đổi chiều:
\[0 \ge -\frac{3}{4}\sin^2(2x) \ge -\frac{3}{4}\]
Hay viết lại cho thuận mắt là:
\[-\frac{3}{4} \le -\frac{3}{4}\sin^2(2x) \le 0\]
Cộng 1 vào tất cả các vế:
\[1 – \frac{3}{4} \le 1 – \frac{3}{4}\sin^2(2x) \le 1 + 0\]
\[\frac{1}{4} \le y \le 1\]
Từ đây, ta có thể kết luận về GTLN và GTNN của hàm số.

Kết luận:

1. Giá trị lớn nhất (GTLN):
GTLN của hàm số là \(1\).
Dấu “=” xảy ra khi \(y = 1\), tương đương với:
\[1 – \frac{3}{4}\sin^2(2x) = 1 \iff \sin^2(2x) = 0 \iff \sin(2x) = 0\]
\[\iff 2x = k\pi \iff x = \frac{k\pi}{2} \quad (k \in \mathbb{Z})\]

2. Giá trị nhỏ nhất (GTNN):
GTNN của hàm số là \(\frac{1}{4}\).
Dấu “=” xảy ra khi \(y = \frac{1}{4}\), tương đương với:
\[1 – \frac{3}{4}\sin^2(2x) = \frac{1}{4} \iff \frac{3}{4}\sin^2(2x) = \frac{3}{4} \iff \sin^2(2x) = 1\]
\[\iff \cos^2(2x) = 0 \iff \cos(2x) = 0\]
\[\iff 2x = \frac{\pi}{2} + k\pi \iff x = \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2} \quad (k \in \mathbb{Z})\]

Tổng kết:
Vậy, giá trị lớn nhất của hàm số là 1 và giá trị nhỏ nhất của hàm số là \(\frac{1}{4}\).

Hy vọng qua bài giải chi tiết này, các em đã nắm vững phương pháp giải quyết dạng toán này. Chúc các em học tốt