Chào các em, thầy sẽ hướng dẫn các em giải bài tập này một cách chi tiết và dễ hiểu nhé. Đây là một dạng toán rất quan trọng trong chương trình lớp 8, giúp các em rèn luyện kỹ năng biến đổi đại số.

Phương pháp giải:

Để tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN) của một biểu thức bậc hai có dạng \(ax^2 + bx + c\) với \(a > 0\), phương pháp hiệu quả nhất là biến đổi biểu thức về dạng bình phương của một tổng hoặc hiệu, cộng với một hằng số.

Cụ thể, chúng ta sẽ đưa biểu thức về dạng \(A(x-m)^2 + k\).

• Vì \((x-m)^2 \ge 0\) với mọi giá trị của \(x\).
• Và vì hệ số \(A > 0\), nên \(A(x-m)^2 \ge 0\).
• Do đó, cả biểu thức sẽ luôn lớn hơn hoặc bằng \(k\). Giá trị nhỏ nhất chính là \(k\), đạt được khi \(x = m\).

Bây giờ, chúng ta sẽ áp dụng phương pháp này vào bài toán cụ thể.

Lời giải chi tiết:

Đặt \(P = 2x^2 – 5x + 1\)

• Bước 1: Đặt hệ số của \(x^2\) ra làm thừa số chung
  Hệ số của \(x^2\) là 2. Ta sẽ đặt 2 ra ngoài dấu ngoặc đối với các hạng tử chứa \(x\).
  \(P = 2(x^2 – \frac{5}{2}x) + 1\)
• Bước 2: Thêm bớt để tạo hằng đẳng thức bên trong dấu ngoặc
  Bên trong ngoặc, ta có \(x^2 – \frac{5}{2}x\). Để tạo thành hằng đẳng thức “bình phương của một hiệu” \( (a-b)^2 = a^2 – 2ab + b^2 \), ta xác định:
  • Số thứ nhất là \(a = x\).
  • Ta có \(2ab = \frac{5}{2}x\), suy ra \(2 \cdot x \cdot b = \frac{5}{2}x\). Từ đó tìm được số thứ hai là \(b = \frac{5}{4}\).

  Vậy, ta cần thêm và bớt \(b^2 = (\frac{5}{4})^2 = \frac{25}{16}\) vào trong dấu ngoặc.
  \(P = 2(x^2 – 2 \cdot x \cdot \frac{5}{4} + \frac{25}{16} – \frac{25}{16}) + 1\)

• Bước 3: Nhóm các hạng tử thành hằng đẳng thức và rút gọn
  Ta nhóm ba hạng tử đầu tiên trong ngoặc để tạo thành bình phương, sau đó nhân hệ số 2 vào và rút gọn.
  \(P = 2[ (x – \frac{5}{4})^2 – \frac{25}{16} ] + 1\)
  \(P = 2(x – \frac{5}{4})^2 – 2 \cdot \frac{25}{16} + 1\)
  \(P = 2(x – \frac{5}{4})^2 – \frac{25}{8} + 1\)
  \(P = 2(x – \frac{5}{4})^2 – \frac{25}{8} + \frac{8}{8}\)
  \(P = 2(x – \frac{5}{4})^2 – \frac{17}{8}\)
• Bước 4: Lập luận để tìm giá trị nhỏ nhất
  Ta có \((x – \frac{5}{4})^2 \ge 0\) với mọi giá trị của \(x\).
  Do đó, \(2(x – \frac{5}{4})^2 \ge 0\) với mọi \(x\).
  Suy ra, \(2(x – \frac{5}{4})^2 – \frac{17}{8} \ge -\frac{17}{8}\) với mọi \(x\).
  Hay \(P \ge -\frac{17}{8}\).
• Bước 5: Kết luận
  Giá trị nhỏ nhất của \(P\) là \(-\frac{17}{8}\).
  Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \((x – \frac{5}{4})^2 = 0\), tức là \(x – \frac{5}{4} = 0\), suy ra \(x = \frac{5}{4}\).

Kết luận:

Vậy, giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(2x^2 – 5x + 1\) là \(-\frac{17}{8}\), đạt được khi \(x = \frac{5}{4}\).

Chúc các em học tốt! Nếu có bất kỳ câu hỏi nào, đừng ngần ngại hỏi nhé.