Chào các em học sinh yêu quý của thầy/cô! Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau chinh phục một bài toán tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức bậc hai. Bài toán này rất hay và thường xuất hiện trong các đề kiểm tra, thi học kỳ của chúng ta. Dù các em học theo bộ sách nào (Kết nối tri thức, Chân trời sáng tạo hay Cánh diều), kiến thức nền tảng để giải bài này đều giống nhau.

Chúng ta sẽ tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2x^2 – 5x + 1

Chúng ta có nhiều cách để giải bài toán này, nhưng cách phổ biến và hiệu quả nhất ở lớp 8 là sử dụng phương pháp “biến đổi về dạng bình phương của một hiệu” hoặc “phương pháp hoàn thành bình phương”. Phương pháp này giúp chúng ta “tách” phần nào đó của biểu thức thành một bình phương, mà bình phương thì luôn không âm.

Bây giờ, chúng ta hãy cùng đi vào các bước giải chi tiết nhé:

Bước 1: Đưa hệ số của x^2 ra ngoài.
Mục đích của bước này là để hệ số của x^2 bên trong dấu ngoặc là 1, giúp việc hoàn thành bình phương dễ dàng hơn.
Ta có biểu thức: 2x^2 – 5x + 1
Ta nhóm các hạng tử chứa x lại và đặt 2 làm thừa số chung:

2(x^2 – 5/2 * x) + 1

Bước 2: Hoàn thành bình phương cho biểu thức trong ngoặc.
Bây giờ chúng ta tập trung vào biểu thức bên trong ngoặc: x^2 – 5/2 * x. Chúng ta muốn biến nó thành dạng (a – b)^2 = a^2 – 2ab + b^2.
Ở đây, a^2 chính là x^2, vậy a = x.
Ta có hạng tử -2ab, tương ứng với -5/2 * x.
Thay a = x vào, ta có: -2 x b = -5/2 * x.
Chia cả hai vế cho -2x (với x khác 0), ta được: b = (-5/2 * x) / (-2x) = 5/4.
Vậy, để hoàn thành bình phương, chúng ta cần thêm vào (5/4)^2.

Chúng ta sẽ cộng và trừ chính giá trị đó để không làm thay đổi biểu thức ban đầu:

2(x^2 – 5/2 * x + (5/4)^2 – (5/4)^2) + 1

Bước 3: Nhóm các hạng tử tạo thành bình phương.
Bây giờ, ba hạng tử đầu tiên trong ngoặc (x^2 – 5/2 * x + (5/4)^2) chính là dạng (a – b)^2 với a = x và b = 5/4.

Vậy ta có: (x – 5/4)^2

Biểu thức của chúng ta trở thành:

2[ (x – 5/4)^2 – (5/4)^2 ] + 1

Bước 4: Rút gọn và đưa về dạng cuối cùng.
Ta tính giá trị của (5/4)^2:

(5/4)^2 = 25/16

Thay vào biểu thức:

2[ (x – 5/4)^2 – 25/16 ] + 1

Nhân 2 vào trong ngoặc:

2(x – 5/4)^2 – 2 * (25/16) + 1

2(x – 5/4)^2 – 50/16 + 1

Rút gọn phân số 50/16:

50/16 = 25/8

Biểu thức là:

2(x – 5/4)^2 – 25/8 + 1

Quy đồng 1 để cộng với -25/8: 1 = 8/8.

2(x – 5/4)^2 – 25/8 + 8/8

2(x – 5/4)^2 – 17/8

Vậy, biểu thức ban đầu đã được viết lại dưới dạng: 2(x – 5/4)^2 – 17/8

Bước 5: Tìm giá trị nhỏ nhất.
Bây giờ chúng ta xem xét biểu thức cuối cùng: 2(x – 5/4)^2 – 17/8.
Chúng ta biết rằng bình phương của một số luôn không âm, tức là:

(x – 5/4)^2 >= 0 với mọi x.

Do đó, 2(x – 5/4)^2 cũng luôn không âm:

2(x – 5/4)^2 >= 0 với mọi x.

Để biểu thức 2(x – 5/4)^2 – 17/8 đạt giá trị nhỏ nhất, thì phần 2(x – 5/4)^2 phải bằng 0.

Điều này xảy ra khi:

x – 5/4 = 0

Suy ra:

x = 5/4

Khi đó, giá trị nhỏ nhất của biểu thức là:

2(0)^2 – 17/8 = 0 – 17/8 = -17/8.

Kết luận:
Giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2x^2 – 5x + 1 là -17/8, đạt được khi x = 5/4.

Hy vọng qua bài giải chi tiết này, các em đã hiểu rõ cách áp dụng phương pháp hoàn thành bình phương để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức bậc hai. Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, đừng ngần ngại hỏi thầy/cô nhé!