tìm GTNN của biểu thức A=2x^2+4x-4
Để tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN) của một biểu thức bậc hai như A, phương pháp chúng ta thường sử dụng ở lớp 8 là biến đổi biểu thức đó về dạng bình phương của một tổng (hoặc một hiệu) cộng với một hằng số. Cụ thể, ta sẽ dùng hằng đẳng thức \((a+b)^2 = a^2+2ab+b^2\).
Bắt đầu giải:
Ta có biểu thức:
\[A = 2x^2 + 4x – 4\]
Bước 1: Đặt nhân tử chung cho các hạng tử chứa biến.
Ta thấy hệ số của \(x^2\) là 2, nên ta sẽ đặt thừa số chung là 2 ra ngoài đối với hai hạng tử đầu tiên.
\[A = 2(x^2 + 2x) – 4\]
Bước 2: Thêm bớt để tạo thành hằng đẳng thức trong dấu ngoặc.
Bên trong dấu ngoặc, ta có biểu thức \(x^2 + 2x\). Để biến nó thành một bình phương của một tổng, ta cần thêm một số hạng nữa. So sánh với hằng đẳng thức \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\), ta thấy \(a^2\) tương ứng với \(x^2\), và \(2ab\) tương ứng với \(2x\).
Từ đó suy ra \(a = x\) và \(2 \cdot x \cdot b = 2x \Rightarrow b = 1\).
Vậy số hạng ta cần thêm vào là \(b^2 = 1^2 = 1\).
Để không làm thay đổi giá trị của biểu thức, nếu ta thêm 1 thì ta phải bớt đi 1 ngay trong ngoặc.
\[A = 2(x^2 + 2x + 1 – 1) – 4\]
Bước 3: Nhóm các hạng tử để tạo hằng đẳng thức và rút gọn.
Bây giờ, ta sẽ nhóm ba hạng tử đầu tiên trong ngoặc để tạo thành hằng đẳng thức \((x+1)^2\).
\[A = 2[(x^2 + 2x + 1) – 1] – 4\]
Tiếp theo, ta dùng tính chất phân phối để đưa số -1 ra ngoài dấu ngoặc. Nhớ rằng khi đưa ra ngoài, nó phải nhân với 2 ở phía trước.
\[A = 2(x+1)^2 – 2 \cdot 1 – 4\]
\[A = 2(x+1)^2 – 2 – 4\]
\[A = 2(x+1)^2 – 6\]
Bước 4: Lập luận để tìm giá trị nhỏ nhất.
Đến đây, chúng ta hãy cùng phân tích.
Ta biết rằng bình phương của một biểu thức bất kỳ thì luôn lớn hơn hoặc bằng 0.
Tức là: \( (x+1)^2 \ge 0 \) với mọi giá trị của \(x\).
Nhân cả hai vế với 2 (là một số dương), bất đẳng thức không đổi chiều:
\[ 2(x+1)^2 \ge 0 \]
Trừ cả hai vế cho 6, ta được:
\[ 2(x+1)^2 – 6 \ge -6 \]
Hay chính là:
\[ A \ge -6 \]
Điều này có nghĩa là biểu thức A luôn nhận giá trị lớn hơn hoặc bằng -6 với mọi \(x\).
Vậy, giá trị nhỏ nhất của A là -6.
Bước 5: Tìm giá trị của x để A đạt giá trị nhỏ nhất.
Giá trị nhỏ nhất này đạt được khi dấu “=” xảy ra. Dấu “=” xảy ra khi biểu thức trong dấu bình phương bằng 0.
Tức là: \( (x+1)^2 = 0 \)
\[ x+1 = 0 \]
\[ x = -1 \]
Kết luận:
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là -6, đạt được khi \(x = -1\).
Chúc các em học tốt nhé
Đáp án:
GTNN của \(A\) là \(-6\) khi \(x=-1\)
Giải thích các bước giải:
Ta có:
\(A=2x^2+4x-4\)
\(=2x^2+4x+2-6\)
\(=2(x^2+2x+1)-6\)
\(=2(x+1)^2-6\)
Vì \((x+1)^2≥0\) \(∀\) \(x\)
\(=>\) \(2(x+1)^2≥0\) \(∀\) \(x\)
\(=>\) \(2(x+1)^2-6≥-6\) \(∀\) \(x\)
\(=>\) \(A≥-6\) \(∀\) \(x\)
Dấu = xảy ra khi:
\((x+1)^2=0\)
\(x+1=0\)
\(x=-1\)
Vậy GTNN của \(A\) là \(-6\) khi \(x=-1\)
A = 2x² + 4x – 4
= 2(x² + 2x) – 4
= 2[(x)² + 2.x.1 + (1)² – 1] -4
= 2(x + 1)² – 2 – 4
= 2(x +1)² – 6
Có: (x + 1)² ≥ 0 với ∀ x
⇔ 2(x + 1)² ≥ 0
⇔ 2(x + 1)² – 6 ≥ -6
⇔ A ≥ -6
Dấu “=” xảy ra ⇔ (x + 1)² = 0
⇔ x + 1 = 0
⇔ x = -1
Vậy A min = -6 khi x = -1
Chúc bạn học tốt