Chào các em! Hôm nay cô và các em sẽ cùng nhau chinh phục một bài toán tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN) rất quen thuộc trong chương trình Toán lớp 9. Bài toán này không quá khó, nhưng đòi hỏi sự cẩn thận và nắm vững kiến thức cơ bản. Chúng ta sẽ cùng nhau phân tích và giải bài toán này một cách chi tiết nhất, bám sát Sách giáo khoa nhé.

Bài toán yêu cầu tìm GTNN của biểu thức:
\(2x^2 + 4x + 4\)

Các em ạ, khi gặp một bài toán tìm GTNN hoặc GTLN của một biểu thức, đặc biệt là biểu thức bậc hai, chúng ta có một vài phương pháp để tiếp cận. Với biểu thức này, cô sẽ hướng dẫn các em sử dụng phương pháp biến đổi về dạng bình phương của một tổng hoặc hiệu, kết hợp với những kiến thức về bất đẳng thức mà chúng ta đã học.

Bước 1: Phân tích biểu thức và nhóm các hạng tử có thể tạo thành bình phương

Biểu thức của chúng ta là \(2x^2 + 4x + 4\).
Cô nhận thấy rằng, hạng tử \(2x^2\) và \(4x\) có thể liên quan đến một bình phương. Để tạo thành bình phương của một tổng \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\), chúng ta cần xem xét hệ số của \(x^2\). Ở đây là 2. Để dễ dàng hơn, cô sẽ “tách” số 2 ra làm thừa số chung cho các hạng tử có chứa \(x\).

\(2x^2 + 4x + 4 = 2(x^2 + 2x) + 4\)

Bây giờ, chúng ta tập trung vào phần bên trong dấu ngoặc: \(x^2 + 2x\).
Chúng ta muốn biến đổi \(x^2 + 2x\) thành dạng của một bình phương. Cô gợi ý các em nhớ lại hằng đẳng thức: \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\).
Ở đây, \(a^2\) chính là \(x^2\), vậy \(a=x\).
Hạng tử \(2ab\) của chúng ta là \(2x\). Nếu \(a=x\), thì \(2xb = 2x\), suy ra \(b=1\).

Vậy, để có \((x+1)^2\), chúng ta cần có \(x^2 + 2x + 1\).
Biểu thức bên trong ngoặc của chúng ta chỉ có \(x^2 + 2x\), còn thiếu số 1.

Bước 2: Biến đổi biểu thức để xuất hiện bình phương và xử lý phần dư

Chúng ta sẽ thêm và bớt số 1 vào trong dấu ngoặc để không làm thay đổi giá trị của biểu thức.

\(2(x^2 + 2x) + 4 = 2(x^2 + 2x + 1 – 1) + 4\)

Bây giờ, chúng ta nhóm ba hạng tử đầu tiên lại để tạo thành bình phương:
\(2((x^2 + 2x + 1) – 1) + 4\)

Áp dụng hằng đẳng thức \((x+1)^2 = x^2 + 2x + 1\), ta có:
\(2((x+1)^2 – 1) + 4\)

Tiếp theo, chúng ta nhân số 2 vào bên trong dấu ngoặc:
\(2(x+1)^2 – 2(1) + 4\)
\(2(x+1)^2 – 2 + 4\)

Cuối cùng, chúng ta rút gọn các hằng số:
\(2(x+1)^2 + 2\)

Vậy là chúng ta đã biến đổi thành công biểu thức ban đầu về dạng \(2(x+1)^2 + 2\).

Bước 3: Sử dụng kiến thức về bất đẳng thức để tìm GTNN

Các em hãy nhớ lại về bình phương của một số. Bình phương của bất kỳ số thực nào luôn luôn không âm.
Tức là, với mọi số thực \(x\), ta có:
\((x+1)^2 \ge 0\)

Bây giờ, chúng ta nhân cả hai vế của bất đẳng thức này với 2. Vì 2 là số dương nên chiều của bất đẳng thức không đổi:
\(2(x+1)^2 \ge 2 \times 0\)
\(2(x+1)^2 \ge 0\)

Sau đó, chúng ta cộng thêm 2 vào cả hai vế của bất đẳng thức:
\(2(x+1)^2 + 2 \ge 0 + 2\)
\(2(x+1)^2 + 2 \ge 2\)

Như vậy, chúng ta đã chứng minh được rằng giá trị của biểu thức \(2(x+1)^2 + 2\) luôn luôn lớn hơn hoặc bằng 2.
Điều này có nghĩa là giá trị nhỏ nhất mà biểu thức này có thể đạt được là 2.

Bước 4: Xác định dấu “=” xảy ra khi nào

Để tìm GTNN, chúng ta cần xác định xem khi nào biểu thức của chúng ta đạt được giá trị nhỏ nhất, tức là khi nào dấu “=” trong bất đẳng thức \(2(x+1)^2 + 2 \ge 2\) xảy ra.

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi:
\((x+1)^2 = 0\)

Điều này xảy ra khi:
\(x+1 = 0\)
\(x = -1\)

Vậy, giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(2x^2 + 4x + 4\) là 2 và đạt được khi \(x = -1\).

Kết luận:

Với các bước phân tích và biến đổi chi tiết, chúng ta đã tìm được giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(2x^2 + 4x + 4\). Biểu thức này luôn lớn hơn hoặc bằng 2. Giá trị nhỏ nhất là 2 đạt được tại \(x = -1\).

Cô hy vọng qua bài giảng này, các em đã hiểu rõ hơn về cách tìm GTNN của biểu thức bậc hai bằng phương pháp biến đổi về dạng bình phương. Các em hãy luyện tập thêm nhiều bài tập tương tự để củng cố kiến thức nhé! Nếu có bất kỳ câu hỏi nào, đừng ngần ngại hỏi cô.