Chào các em học sinh yêu quý của cô!
Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau chinh phục một dạng bài tập tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức bậc hai. Dạng này tuy quen thuộc nhưng đòi hỏi sự hiểu biết sâu sắc về các hằng đẳng thức và cách biến đổi khéo léo.
Chúng ta sẽ áp dụng kiến thức từ chương “Đại số” trong Sách giáo khoa Toán lớp 7 mới, đặc biệt là liên quan đến các phép biến đổi tương đương và khai triển hằng đẳng thức.

Bài tập của chúng ta là: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(x^2\) -5x-2.

Bước 1: Nhận dạng biểu thức.
Đây là một biểu thức bậc hai theo biến x có dạng \(ax^2 + bx + c\), với \(a=1\), \(b=-5\), \(c=-2\).

Bước 2: Biến đổi biểu thức về dạng tổng của một bình phương và một hằng số.
Mục tiêu của chúng ta là đưa biểu thức về dạng \((x-m)^2 + k\) hoặc \((x+m)^2 + k\). Vì \((x-m)^2 \ge 0\) hoặc \((x+m)^2 \ge 0\) với mọi x, nên giá trị nhỏ nhất của biểu thức sẽ là k, đạt được khi \(x-m=0\) hoặc \(x+m=0\).
Để làm được điều này, ta sẽ sử dụng phương pháp “hoàn thành bình phương”.
Ta có biểu thức: \(x^2 – 5x – 2\).
Xét hai số hạng đầu: \(x^2 – 5x\). Ta muốn nó trở thành một phần của bình phương \((x-m)^2 = x^2 – 2mx + m^2\).
So sánh \(x^2 – 5x\) với \(x^2 – 2mx\), ta thấy \(-5x = -2mx\). Điều này suy ra \(2m = 5\), hay \(m = \frac{5}{2}\).
Vậy, ta sẽ thêm và bớt \(\left(\frac{5}{2}\right)^2\) vào biểu thức để tạo thành bình phương.
\(x^2 – 5x – 2 = \left(x^2 – 5x + \left(\frac{5}{2}\right)^2\right) – \left(\frac{5}{2}\right)^2 – 2\).
Lý do ta làm vậy là để nhóm ba số hạng đầu thành một hằng đẳng thức.

Bước 3: Áp dụng hằng đẳng thức.
Ta có hằng đẳng thức \((a-b)^2 = a^2 – 2ab + b^2\).
Áp dụng vào biểu thức của chúng ta: \(x^2 – 5x + \left(\frac{5}{2}\right)^2 = \left(x – \frac{5}{2}\right)^2\).
Vậy, biểu thức trở thành: \(\left(x – \frac{5}{2}\right)^2 – \left(\frac{5}{2}\right)^2 – 2\).

Bước 4: Tính toán các hằng số.
Ta tính giá trị của \(\left(\frac{5}{2}\right)^2\) và thực hiện phép trừ.
\(\left(\frac{5}{2}\right)^2 = \frac{25}{4}\).
Biểu thức là: \(\left(x – \frac{5}{2}\right)^2 – \frac{25}{4} – 2\).
Quy đồng mẫu số cho các hằng số: \(2 = \frac{8}{4}\).
Vậy, biểu thức là: \(\left(x – \frac{5}{2}\right)^2 – \frac{25}{4} – \frac{8}{4}\).
\(\left(x – \frac{5}{2}\right)^2 – \frac{25 + 8}{4}\).
\(\left(x – \frac{5}{2}\right)^2 – \frac{33}{4}\).

Bước 5: Tìm giá trị nhỏ nhất.
Ta biết rằng bình phương của một số thực luôn không âm, tức là \(\left(x – \frac{5}{2}\right)^2 \ge 0\) với mọi giá trị của x.
Do đó, giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(\left(x – \frac{5}{2}\right)^2 – \frac{33}{4}\) sẽ đạt được khi \(\left(x – \frac{5}{2}\right)^2\) đạt giá trị nhỏ nhất của nó, là 0.
Điều này xảy ra khi \(x – \frac{5}{2} = 0\), tức là \(x = \frac{5}{2}\).
Khi đó, giá trị nhỏ nhất của biểu thức là \(0 – \frac{33}{4} = -\frac{33}{4}\).

Kết luận:
Vậy, giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(x^2 – 5x – 2\) là \(-\frac{33}{4}\), đạt được khi \(x = \frac{5}{2}\).

Cô hy vọng các em đã hiểu rõ từng bước của bài toán này. Việc luyện tập nhiều dạng bài tương tự sẽ giúp các em thành thạo phương pháp hoàn thành bình phương và tự tin hơn khi giải các bài toán về tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức bậc hai. Chúc các em học tốt!