Chào các em học sinh yêu quý! Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau “giải mã” bài toán tìm giá trị nhỏ nhất của một biểu thức bậc hai nhé. Đây là một dạng bài rất hay và quan trọng trong chương trình Toán lớp 8 của chúng ta.

Đề bài: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( A = 2x^2 + 8x + 10 \)

Chúng ta cùng bắt tay vào làm nhé!

Hướng dẫn giải chi tiết:

Để tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN) của biểu thức bậc hai có dạng \( ax^2 + bx + c \) với \( a > 0 \), chúng ta thường sử dụng phương pháp “biến đổi về dạng bình phương của một tổng hoặc một hiệu”. Cụ thể là đưa biểu thức về dạng \( m(x+n)^2 + p \), trong đó \( m > 0 \).

Hãy cùng thầy thực hiện từng bước với biểu thức \( A = 2x^2 + 8x + 10 \) nhé!

Bước 1: Nhóm các hạng tử chứa \( x \) và đặt thừa số chung.

Chúng ta nhận thấy cả \( 2x^2 \) và \( 8x \) đều có thể đặt 2 làm thừa số chung.
\[ A = 2x^2 + 8x + 10 \]
\[ A = 2(x^2 + 4x) + 10 \]
(Ở bước này, chúng ta đã tách số 10 ra khỏi phần biến đổi để dễ dàng xử lý phần trong ngoặc.)

Bước 2: Biến đổi phần trong ngoặc thành dạng bình phương của một tổng.

Nhắc lại hằng đẳng thức đáng nhớ: \( (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \).

Chúng ta có \( x^2 + 4x \). Cần tìm một số để thêm vào và bớt đi để tạo thành một bình phương.

Ở đây, \( a^2 = x^2 \Rightarrow a = x \).

Hạng tử \( 4x \) tương ứng với \( 2ab \). Vậy \( 2 \cdot x \cdot b = 4x \Rightarrow b = 2 \).

Vậy chúng ta cần thêm vào \( b^2 = 2^2 = 4 \). Để biểu thức không đổi, chúng ta phải thêm 4 rồi lại bớt 4.

Phần trong ngoặc sẽ là:
\[ x^2 + 4x = x^2 + 2 \cdot x \cdot 2 + 2^2 – 2^2 \]
\[ x^2 + 4x = (x^2 + 4x + 4) – 4 \]
\[ x^2 + 4x = (x+2)^2 – 4 \]
(Đây là kỹ thuật “thêm bớt” để tạo hằng đẳng thức mà chúng ta đã học.)

Bước 3: Thay kết quả vào biểu thức ban đầu và rút gọn.

Bây giờ, chúng ta thay \( (x+2)^2 – 4 \) vào chỗ của \( x^2 + 4x \) trong biểu thức A:
\[ A = 2[(x+2)^2 – 4] + 10 \]

Thực hiện phép nhân và rút gọn:
\[ A = 2(x+2)^2 – 2 \cdot 4 + 10 \]
\[ A = 2(x+2)^2 – 8 + 10 \]
\[ A = 2(x+2)^2 + 2 \]

Bước 4: Nhận xét và kết luận về giá trị nhỏ nhất.

Chúng ta đã đưa biểu thức A về dạng \( A = 2(x+2)^2 + 2 \).

Hãy cùng phân tích biểu thức này:

Với mọi giá trị của \( x \), chúng ta luôn có \( (x+2)^2 \ge 0 \) (vì bình phương của một số thực thì luôn không âm).

Tiếp theo, nhân cả hai vế với 2 (là một số dương), bất đẳng thức vẫn giữ nguyên chiều:
\[ 2(x+2)^2 \ge 2 \cdot 0 \]
\[ 2(x+2)^2 \ge 0 \]

Bây giờ, cộng thêm 2 vào cả hai vế:
\[ 2(x+2)^2 + 2 \ge 0 + 2 \]
\[ 2(x+2)^2 + 2 \ge 2 \]

Điều này có nghĩa là giá trị của biểu thức A luôn luôn lớn hơn hoặc bằng 2.

Giá trị nhỏ nhất của A chính là 2.

Vậy, khi nào thì A đạt giá trị nhỏ nhất?

Giá trị nhỏ nhất của A là 2 khi và chỉ khi dấu “=” xảy ra, tức là:
\[ 2(x+2)^2 = 0 \]
\[ (x+2)^2 = 0 \]
\[ x+2 = 0 \]
\[ x = -2 \]

Kết luận:

Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( A = 2x^2 + 8x + 10 \) là 2, khi \( x = -2 \).

Thầy hy vọng qua bài giải chi tiết này, các em đã hiểu rõ cách tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức bậc hai rồi nhé! Hãy luyện tập thật nhiều để thành thạo phương pháp này nhé các em!