Chào các em học sinh thân mến! Hôm nay, cô trò mình sẽ cùng nhau giải một bài tập liên quan đến sự song song của hai đường thẳng trong chương trình Toán lớp 9. Bài tập này sẽ giúp các em củng cố kiến thức về phương trình đường thẳng và điều kiện để hai đường thẳng song song.

Chúng ta có hai đường thẳng có phương trình như sau:
(d1): 3x + my = 3
(d2): mx + 3y = 3

Đề bài yêu cầu chúng ta tìm giá trị của m để hai đường thẳng (d1) và (d2) song song với nhau.

Để giải bài tập này, chúng ta sẽ thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Nhận dạng phương trình đường thẳng và điều kiện song song.

Các em còn nhớ dạng tổng quát của phương trình đường thẳng trong mặt phẳng tọa độ là gì không nào? Đó là ax + by = c.
Trong bài toán này, (d1) có dạng A1x + B1y = C1 với A1 = 3, B1 = m, C1 = 3.
Và (d2) có dạng A2x + B2y = C2 với A2 = m, B2 = 3, C2 = 3.

Hai đường thẳng song song với nhau khi và chỉ khi hai đường thẳng đó không trùng nhau và có hệ số góc bằng nhau (nếu chúng có thể biểu diễn dưới dạng y = kx + d). Tuy nhiên, với dạng tổng quát ax + by = c, chúng ta có một điều kiện tổng quát và dễ áp dụng hơn.

Hai đường thẳng A1x + B1y = C1 và A2x + B2y = C2 song song với nhau khi và chỉ khi:
\[ \frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} \neq \frac{C_1}{C_2} \]

Điều kiện này có nghĩa là tỉ lệ của các hệ số của x bằng nhau, tỉ lệ của các hệ số của y bằng nhau, nhưng tỉ lệ của các hệ số tự do thì khác.

Bước 2: Áp dụng điều kiện song song vào bài toán cụ thể.

Dựa vào công thức ở Bước 1, chúng ta có:
A1 = 3, B1 = m, C1 = 3
A2 = m, B2 = 3, C2 = 3

Vậy, để (d1) song song với (d2), ta phải có:
\[ \frac{3}{m} = \frac{m}{3} \neq \frac{3}{3} \]

Bây giờ, chúng ta sẽ lần lượt xét các vế của điều kiện này.

Bước 3: Giải phương trình từ điều kiện tỉ lệ các hệ số.

Trước tiên, ta xét điều kiện:
\[ \frac{3}{m} = \frac{m}{3} \]
Để có thể thực hiện phép chia, ta cần lưu ý rằng mẫu số phải khác 0, tức là m \neq 0.
Nhân chéo hai vế, ta được:
3 3 = m m
9 = m^2
m^2 = 9

Tới đây, chúng ta tìm được các giá trị của m bằng cách lấy căn bậc hai của 9:
m = 3 hoặc m = -3

Bước 4: Kiểm tra điều kiện tỉ lệ hệ số tự do.

Tiếp theo, chúng ta cần kiểm tra xem các giá trị m tìm được ở Bước 3 có thỏa mãn điều kiện thứ hai của sự song song hay không, đó là:
\[ \frac{m}{3} \neq \frac{3}{3} \]
Hoặc, ta có thể gộp lại từ điều kiện ban đầu:
\[ \frac{3}{m} \neq \frac{3}{3} \]

Chúng ta hãy xét từng trường hợp của m.

* Trường hợp 1: m = 3
Ta thay m = 3 vào điều kiện:
\[ \frac{3}{3} = \frac{3}{3} \]
Và ta cũng kiểm tra phần thứ hai:
\[ \frac{3}{3} \neq \frac{3}{3} \]
Điều này dẫn đến một mâu thuẫn: 1 = 1 và 1 \neq 1.
Cụ thể hơn, nếu m = 3, thì tỉ lệ các hệ số của x và y là:
\[ \frac{A_1}{A_2} = \frac{3}{3} = 1 \]
\[ \frac{B_1}{B_2} = \frac{3}{3} = 1 \]
Như vậy, \( \frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} \).
Bây giờ, ta xem xét tỉ lệ hệ số tự do:
\[ \frac{C_1}{C_2} = \frac{3}{3} = 1 \]
Khi đó, ta có \( \frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} = \frac{C_1}{C_2} \). Điều này có nghĩa là hai đường thẳng (d1) và (d2) trùng nhau khi m = 3, chứ không phải song song. Vì vậy, m = 3 không thỏa mãn yêu cầu của đề bài.

* Trường hợp 2: m = -3
Ta thay m = -3 vào điều kiện:
\[ \frac{3}{-3} = \frac{-3}{3} \]
\[ -1 = -1 \]
Và ta kiểm tra phần thứ hai:
\[ \frac{-3}{3} \neq \frac{3}{3} \]
\[ -1 \neq 1 \]
Điều này là đúng.
Cụ thể hơn, nếu m = -3, thì tỉ lệ các hệ số của x và y là:
\[ \frac{A_1}{A_2} = \frac{3}{-3} = -1 \]
\[ \frac{B_1}{B_2} = \frac{-3}{3} = -1 \]
Như vậy, \( \frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} \).
Bây giờ, ta xem xét tỉ lệ hệ số tự do:
\[ \frac{C_1}{C_2} = \frac{3}{3} = 1 \]
Khi đó, ta có \( \frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} = -1 \) và \( \frac{C_1}{C_2} = 1 \).
Ta thấy \( -1 \neq 1 \), tức là \( \frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} \neq \frac{C_1}{C_2} \).
Điều này thỏa mãn điều kiện hai đường thẳng song song.

Bước 5: Kết luận.

Sau khi phân tích, chúng ta thấy rằng chỉ có giá trị m = -3 mới làm cho hai đường thẳng (d1) và (d2) song song với nhau.

Vậy, giá trị của m để hai đường thẳng (d1): 3x + my = 3 và (d2): mx + 3y = 3 song song với nhau là m = -3.

Cô hy vọng qua bài tập này, các em đã hiểu rõ hơn về cách xác định điều kiện song song của hai đường thẳng. Nếu có bất kỳ câu hỏi nào, đừng ngần ngại hỏi cô nhé!