Chào các em học sinh yêu quý của cô! Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau chinh phục một bài toán hệ phương trình thú vị liên quan đến điều kiện nghiệm. Bài toán yêu cầu chúng ta tìm giá trị của tham số m để hệ phương trình sau có nghiệm dương:

\(\left \{ {{2x-y=1} \atop {mx+3y=5}} \right.\)

Chúng ta sẽ cùng nhau đi qua từng bước một, thật cẩn thận và chi tiết nhé!

Bước 1: Biểu diễn một ẩn theo ẩn còn lại từ phương trình thứ nhất.

Nhìn vào hệ phương trình, cô thấy phương trình đầu tiên, \(2x-y=1\), có vẻ đơn giản để biểu diễn \(y\) theo \(x\) hoặc ngược lại. Cô chọn biểu diễn \(y\) theo \(x\) cho tiện:

Từ \(2x-y=1\), ta suy ra:
\(y = 2x – 1\)

Bước 2: Thế biểu thức của ẩn vào phương trình thứ hai.

Bây giờ, cô sẽ thế biểu thức \(y = 2x – 1\) vào phương trình thứ hai của hệ, \(mx+3y=5\):

\(mx + 3(2x – 1) = 5\)

Bước 3: Rút gọn và tìm biểu thức của x theo m.

Tiếp theo, cô sẽ khai triển và rút gọn phương trình vừa nhận được để tìm \(x\):

\(mx + 6x – 3 = 5\)
\(x(m + 6) = 5 + 3\)
\(x(m + 6) = 8\)

Bây giờ, chúng ta cần xem xét trường hợp \(m+6=0\).

* Trường hợp 1: \(m+6 = 0 \implies m = -6\)
Nếu \(m = -6\), phương trình trở thành \(x(0) = 8\), tức là \(0 = 8\). Phương trình này vô lý, do đó, khi \(m = -6\), hệ phương trình vô nghiệm. Điều này có nghĩa là \(m = -6\) không phải là giá trị chúng ta cần tìm.

* Trường hợp 2: \(m+6 \neq 0 \implies m \neq -6\)
Trong trường hợp này, chúng ta có thể chia cả hai vế cho \(m+6\) để tìm \(x\):
\(x = \frac{8}{m+6}\)

Bước 4: Tìm biểu thức của y theo m.

Sau khi có biểu thức của \(x\) theo \(m\), chúng ta sẽ thay biểu thức này vào biểu thức của \(y\) mà chúng ta đã tìm được ở Bước 1: \(y = 2x – 1\).

\(y = 2 \left( \frac{8}{m+6} \right) – 1\)
\(y = \frac{16}{m+6} – 1\)
\(y = \frac{16 – (m+6)}{m+6}\)
\(y = \frac{16 – m – 6}{m+6}\)
\(y = \frac{10 – m}{m+6}\)

Vậy là chúng ta đã tìm được nghiệm của hệ phương trình theo \(m\):
\(x = \frac{8}{m+6}\)
\(y = \frac{10-m}{m+6}\)

Bước 5: Áp dụng điều kiện nghiệm dương.

Đề bài yêu cầu hệ phương trình có nghiệm dương, nghĩa là cả \(x\) và \(y\) đều phải lớn hơn 0. Chúng ta có hai điều kiện:

1. \(x > 0 \implies \frac{8}{m+6} > 0\)
2. \(y > 0 \implies \frac{10-m}{m+6} > 0\)

Bước 6: Giải các bất phương trình để tìm m.

Chúng ta sẽ giải từng bất phương trình:

* Bất phương trình 1: \(\frac{8}{m+6} > 0\)
Vì tử số là 8 (luôn dương), để phân số này dương thì mẫu số cũng phải dương.
\(m+6 > 0\)
\(m > -6\)

* Bất phương trình 2: \(\frac{10-m}{m+6} > 0\)
Để một phân số dương, tử và mẫu phải cùng dấu.
* Trường hợp 2a: Cả tử và mẫu đều dương.
\(10-m > 0\) và \(m+6 > 0\)
\(m < 10\) và \(m > -6\)
Kết hợp lại, ta có: \(-6 < m < 10\) * Trường hợp 2b: Cả tử và mẫu đều âm.
\(10-m < 0\) và \(m+6 < 0\) \(m > 10\) và \(m < -6\) Trường hợp này không thể xảy ra vì không có số nào vừa lớn hơn 10 lại vừa nhỏ hơn -6. Vậy, điều kiện để \(\frac{10-m}{m+6} > 0\) là \(-6 < m < 10\). Bước 7: Kết hợp các điều kiện của m.

Bây giờ, chúng ta cần kết hợp tất cả các điều kiện mà chúng ta đã tìm được:
1. Hệ có nghiệm (tức là \(m \neq -6\))
2. \(x > 0\) dẫn đến \(m > -6\)
3. \(y > 0\) dẫn đến \(-6 < m < 10\) Kết hợp \(m > -6\) và \(-6 < m < 10\), chúng ta thấy rằng điều kiện \(m > -6\) đã bao hàm \(m \neq -6\).
Do đó, điều kiện cuối cùng để hệ phương trình có nghiệm dương là:

\(-6 < m < 10\) Kết luận:

Vậy, để hệ phương trình có nghiệm dương, tham số \(m\) phải thỏa mãn điều kiện \(-6 < m < 10\). Cô hy vọng các em đã hiểu rõ từng bước giải bài toán này. Hãy luyện tập thêm nhiều bài tập tương tự để nắm vững kiến thức nhé! Chúc các em học tốt!