Chào các em học sinh lớp 11! Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau tìm hiểu và giải một bài toán về hàm số lượng giác rất thú vị. Bài toán yêu cầu chúng ta tìm nghiệm âm lớn nhất và nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình tanx = √3.

Chúng ta sẽ cùng nhau làm từng bước một, bám sát kiến thức đã học trong Sách giáo khoa nhé!

Bước 1: Tìm tập nghiệm tổng quát của phương trình tanx = √3

Chúng ta cần nhớ lại về giá trị đặc biệt của hàm số tang. Các em còn nhớ giá trị của tanx khi x bằng bao nhiêu thì bằng √3 không nào? Đúng rồi, đó là khi \(x = \frac{\pi}{3}\).

Ta có phương trình:
\( \tan x = \sqrt{3} \)

Vì hàm số tang có chu kỳ là \(\pi\), nên tập nghiệm tổng quát của phương trình này sẽ là:
\[ x = \frac{\pi}{3} + k\pi \]
trong đó \(k\) là một số nguyên bất kỳ (\(k \in \mathbb{Z}\)).

Bước 2: Tìm nghiệm âm lớn nhất

Bây giờ, chúng ta cần tìm giá trị của \(k\) sao cho \(x = \frac{\pi}{3} + k\pi\) là một số âm và có giá trị lớn nhất.
Để \(x\) âm, ta cần \( \frac{\pi}{3} + k\pi < 0 \). Chia cả hai vế cho \(\pi\) (vì \(\pi > 0\)), ta được:
\( \frac{1}{3} + k < 0 \) \( k < -\frac{1}{3} \) Vì \(k\) là số nguyên, nên các giá trị nguyên của \(k\) thỏa mãn điều kiện \(k < -\frac{1}{3}\) là \(k = -1, -2, -3, ...\). Trong các giá trị này, giá trị nguyên lớn nhất của \(k\) là \(k = -1\). Thay \(k = -1\) vào công thức nghiệm tổng quát: \( x = \frac{\pi}{3} + (-1)\pi \) \( x = \frac{\pi}{3} - \pi \) \( x = \frac{\pi - 3\pi}{3} \) \( x = -\frac{2\pi}{3} \) Vậy, nghiệm âm lớn nhất của phương trình là \(-\frac{2\pi}{3}\). Bước 3: Tìm nghiệm dương nhỏ nhất

Tiếp theo, chúng ta cần tìm giá trị của \(k\) sao cho \(x = \frac{\pi}{3} + k\pi\) là một số dương và có giá trị nhỏ nhất.
Để \(x\) dương, ta cần \( \frac{\pi}{3} + k\pi > 0 \).
Chia cả hai vế cho \(\pi\):
\( \frac{1}{3} + k > 0 \)
\( k > -\frac{1}{3} \)

Vì \(k\) là số nguyên, nên các giá trị nguyên của \(k\) thỏa mãn điều kiện \(k > -\frac{1}{3}\) là \(k = 0, 1, 2, 3, …\).
Trong các giá trị này, giá trị nguyên nhỏ nhất của \(k\) là \(k = 0\).

Thay \(k = 0\) vào công thức nghiệm tổng quát:
\( x = \frac{\pi}{3} + (0)\pi \)
\( x = \frac{\pi}{3} \)

Vậy, nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình là \(\frac{\pi}{3}\).

Kết luận:

Qua các bước phân tích và tính toán, chúng ta đã tìm được:
– Nghiệm âm lớn nhất của hàm số tanx = √3 là \(-\frac{2\pi}{3}\).
– Nghiệm dương nhỏ nhất của hàm số tanx = √3 là \(\frac{\pi}{3}\).

Các em thấy đó, chỉ cần nắm vững kiến thức về chu kỳ của hàm số tang và cách tìm giá trị nguyên phù hợp, chúng ta có thể giải quyết bài toán này một cách dễ dàng. Hy vọng bài giảng này giúp các em hiểu bài hơn. Hẹn gặp lại các em trong các buổi học tiếp theo!