Chào các em học sinh thân mến! Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau chinh phục một bài toán tìm nghiệm của phương trình lượng giác trên một khoảng xác định. Bài toán này rất quen thuộc và xuất hiện trong chương trình Toán lớp 11 của chúng ta, dù các em học theo bộ sách nào (Kết nối tri thức, Chân trời sáng tạo hay Cánh diều) thì phương pháp giải cũng tương tự nhau.

Bài toán yêu cầu chúng ta tìm nghiệm của phương trình:
sin(x) = -1/2 trên khoảng (0; pi)

Chúng ta sẽ đi từng bước một nhé:

Bước 1: Xác định phương trình lượng giác cơ bản và giá trị đặc biệt.
Phương trình của chúng ta là sin(x) = -1/2. Chúng ta cần nhớ lại các giá trị lượng giác đặc biệt của các cung đặc biệt.
Ta biết rằng sin(pi/6) = 1/2.
Vì giá trị -1/2 là âm, chúng ta cần xem xét các cung có sin âm. Trong đường tròn lượng giác, sin âm ở góc phần tư thứ III và thứ IV.

Bước 2: Tìm các nghiệm tổng quát của phương trình sin(x) = -1/2.
Chúng ta sử dụng công thức nghiệm tổng quát cho phương trình sin(x) = sin(alpha).
Công thức nghiệm của phương trình sin(x) = sin(alpha) là:
\[ x = \alpha + k2\pi \quad \text{hoặc} \quad x = \pi – \alpha + k2\pi \]
trong đó k là số nguyên (k ∈ Z).

Để tìm được alpha, ta cần tìm một góc mà sin của nó bằng -1/2.
Ta biết sin(pi/6) = 1/2.
Do đó, sin(-pi/6) = -sin(pi/6) = -1/2.
Vậy, ta có thể chọn alpha = -pi/6.

Áp dụng công thức nghiệm tổng quát với alpha = -pi/6:
Trường hợp 1:
x = -pi/6 + k2*pi

Trường hợp 2:
x = pi – (-pi/6) + k2*pi
x = pi + pi/6 + k2*pi
x = 7*pi/6 + k2*pi

Vậy, tập nghiệm tổng quát của phương trình sin(x) = -1/2 là:
x = -pi/6 + k2*pi hoặc x = 7*pi/6 + k2*pi, với k ∈ Z.

Bước 3: Tìm các nghiệm thỏa mãn điều kiện trên khoảng (0; pi).
Bây giờ, chúng ta sẽ lần lượt xét các nghiệm tổng quát tìm được ở Bước 2 và kiểm tra xem nghiệm nào thuộc khoảng (0; pi).

Xét trường hợp 1: x = -pi/6 + k2*pi
Chúng ta cần tìm các giá trị nguyên của k sao cho 0 < -pi/6 + k2*pi < pi. Chia cả ba vế của bất đẳng thức cho pi (lưu ý pi > 0 nên chiều bất đẳng thức không đổi):
0/pi < (-pi/6)/pi + (k2*pi)/pi < pi/pi 0 < -1/6 + 2k < 1 Cộng 1/6 vào cả ba vế: 0 + 1/6 < -1/6 + 2k + 1/6 < 1 + 1/6 1/6 < 2k < 7/6 Chia cả ba vế cho 2: (1/6)/2 < (2k)/2 < (7/6)/2 1/12 < k < 7/12 Vì k là số nguyên, không có giá trị nguyên nào của k thỏa mãn 1/12 < k < 7/12. Do đó, trường hợp này không cho nghiệm nào thuộc khoảng (0; pi). Xét trường hợp 2: x = 7*pi/6 + k2*pi Chúng ta cần tìm các giá trị nguyên của k sao cho 0 < 7*pi/6 + k2*pi < pi. Chia cả ba vế của bất đẳng thức cho pi: 0/pi < (7*pi/6)/pi + (k2*pi)/pi < pi/pi 0 < 7/6 + 2k < 1 Trừ 7/6 vào cả ba vế: 0 - 7/6 < 7/6 + 2k - 7/6 < 1 - 7/6 -7/6 < 2k < -1/6 Chia cả ba vế cho 2: (-7/6)/2 < (2k)/2 < (-1/6)/2 -7/12 < k < -1/12 Vì k là số nguyên, không có giá trị nguyên nào của k thỏa mãn -7/12 < k < -1/12. Do đó, trường hợp này cũng không cho nghiệm nào thuộc khoảng (0; pi). Các em ơi, có lẽ cô đã làm sai ở đâu đó, hoặc cách chọn alpha ban đầu chưa tối ưu. Chúng ta hãy thử một cách khác nhé! Bước 1 (làm lại): Xác định phương trình lượng giác cơ bản và giá trị đặc biệt. Phương trình sin(x) = -1/2. Ta biết rằng sin(pi/6) = 1/2. Bước 2 (làm lại): Tìm các nghiệm tổng quát của phương trình sin(x) = -1/2. Chúng ta có thể sử dụng cung đối sin hoặc cung bù sin để tìm góc có sin âm. Nếu sin(alpha) = a, thì sin(pi - alpha) = sin(alpha) = a. Và sin(-alpha) = -sin(alpha). Vì sin(x) = -1/2, chúng ta có thể tìm một góc alpha mà sin(alpha) = 1/2. Góc đó là alpha = pi/6. Khi đó, sin(-pi/6) = -sin(pi/6) = -1/2. Hoặc ta có thể tìm một góc khác. Ta biết rằng sin(pi + pi/6) = sin(7pi/6) = -sin(pi/6) = -1/2. Hoặc sin(2pi - pi/6) = sin(11pi/6) = -sin(pi/6) = -1/2. Hãy chọn một giá trị alpha cụ thể để dễ hình dung hơn. Ta biết sin(x) = -1/2. Giá trị -1/2 nằm trên trục sin ở phía âm. Trên đường tròn lượng giác, góc mà sin bằng -1/2 ứng với các điểm có tung độ bằng -1/2. Các góc này là 7pi/6 và 11pi/6 (trong khoảng [0, 2pi)). Vậy, nghiệm tổng quát của phương trình sin(x) = -1/2 là: \[ x = \frac{7\pi}{6} + k2\pi \] hoặc \[ x = \frac{11\pi}{6} + k2\pi \] trong đó k là số nguyên (k ∈ Z). Bước 3 (làm lại): Tìm các nghiệm thỏa mãn điều kiện trên khoảng (0; pi). Bây giờ, chúng ta sẽ xét các nghiệm tổng quát tìm được ở Bước 2 (làm lại) và kiểm tra xem nghiệm nào thuộc khoảng (0; pi). Xét trường hợp 1: x = 7*pi/6 + k2*pi Chúng ta cần tìm các giá trị nguyên của k sao cho 0 < 7*pi/6 + k2*pi < pi. Chia cả ba vế của bất đẳng thức cho pi: 0 < 7/6 + 2k < 1 Trừ 7/6 vào cả ba vế: -7/6 < 2k < 1 - 7/6 -7/6 < 2k < -1/6 Chia cả ba vế cho 2: -7/12 < k < -1/12 Vì k là số nguyên, không có giá trị nguyên nào của k thỏa mãn -7/12 < k < -1/12. Do đó, trường hợp này không cho nghiệm nào thuộc khoảng (0; pi). Xét trường hợp 2: x = 11*pi/6 + k2*pi Chúng ta cần tìm các giá trị nguyên của k sao cho 0 < 11*pi/6 + k2*pi < pi. Chia cả ba vế của bất đẳng thức cho pi: 0 < 11/6 + 2k < 1 Trừ 11/6 vào cả ba vế: -11/6 < 2k < 1 - 11/6 -11/6 < 2k < -5/6 Chia cả ba vế cho 2: -11/12 < k < -5/12 Vì k là số nguyên, không có giá trị nguyên nào của k thỏa mãn -11/12 < k < -5/12. Ôi, cô lại nhầm lẫn ở đâu đó rồi. Các em thấy không, đôi khi việc chọn góc ban đầu rất quan trọng. Chúng ta hãy thử một cách tiếp cận khác, sử dụng chính góc có sin dương tương ứng. Bước 1 (lần 3): Xác định phương trình lượng giác cơ bản. Phương trình là sin(x) = -1/2. Bước 2 (lần 3): Sử dụng mối liên hệ giữa các cung. Ta biết rằng sin(pi - alpha) = sin(alpha) và sin(pi + alpha) = -sin(alpha). Chúng ta cần tìm một góc alpha mà sin(alpha) = 1/2. Ta chọn alpha = pi/6. Vậy, ta có: sin(x) = -1/2 sin(x) = -sin(pi/6) Chúng ta biết rằng -sin(alpha) = sin(pi + alpha). Do đó, sin(x) = sin(pi + pi/6) sin(x) = sin(7*pi/6) Đây là một nghiệm cụ thể mà ta tìm được. Tuy nhiên, chúng ta cần tìm tất cả các nghiệm. Áp dụng công thức nghiệm tổng quát: Nếu sin(x) = sin(alpha), thì: \[ x = \alpha + k2\pi \quad \text{hoặc} \quad x = \pi - \alpha + k2\pi \] với k ∈ Z. Trong trường hợp này, ta có thể chọn alpha = 7*pi/6. Nghiệm tổng quát là: Trường hợp 1: x = 7*pi/6 + k2*pi Trường hợp 2: x = pi - 7*pi/6 + k2*pi x = -pi/6 + k2*pi Đây là hai dạng nghiệm tổng quát mà chúng ta đã tìm được ở lần thử đầu tiên. Bây giờ, chúng ta sẽ tập trung vào việc tìm nghiệm trong khoảng (0; pi). Bước 3 (lần 3): Xét nghiệm trên khoảng (0; pi). Chúng ta có hai dạng nghiệm tổng quát: Dạng 1: x = -pi/6 + k2*pi Chúng ta cần tìm k ∈ Z sao cho 0 < -pi/6 + k2*pi < pi. Thêm pi/6 vào cả ba vế: pi/6 < k2*pi < pi + pi/6 pi/6 < k2*pi < 7*pi/6 Chia cả ba vế cho 2*pi: (pi/6) / (2*pi) < k < (7*pi/6) / (2*pi) 1/12 < k < 7/12 Không có số nguyên k nào thỏa mãn. Dạng 2: x = 7*pi/6 + k2*pi Chúng ta cần tìm k ∈ Z sao cho 0 < 7*pi/6 + k2*pi < pi. Trừ 7*pi/6 vào cả ba vế: -7*pi/6 < k2*pi < pi - 7*pi/6 -7*pi/6 < k2*pi < -pi/6 Chia cả ba vế cho 2*pi: (-7*pi/6) / (2*pi) < k < (-pi/6) / (2*pi) -7/12 < k < -1/12 Không có số nguyên k nào thỏa mãn. Thật kỳ lạ! Có vẻ như có một lỗi sai trong suy luận của cô. Chúng ta hãy nhìn lại vào đường tròn lượng giác để xác định các góc trong khoảng (0; pi) có sin bằng -1/2. Khoảng (0; pi) là nửa trên của đường tròn lượng giác. Trên nửa này, giá trị sin luôn dương (từ 0 đến 1 rồi giảm về 0). Tức là, trong khoảng (0; pi), sin(x) luôn ≥ 0. Vì phương trình của chúng ta là sin(x) = -1/2, mà -1/2 là một giá trị âm. Do đó, không có giá trị nào của x trong khoảng (0; pi) mà sin(x) lại nhận giá trị âm -1/2. Kết luận: Phương trình sin(x) = -1/2 không có nghiệm trên khoảng (0; pi). Các em thấy không, đôi khi chúng ta cần kết hợp cả việc sử dụng công thức và hình dung trên đường tròn lượng giác để đưa ra kết luận chính xác nhất. Bài học hôm nay giúp chúng ta hiểu rõ hơn về tính chất của hàm sin và cách tìm nghiệm trong một khoảng xác định. Nếu có bất kỳ câu hỏi nào, đừng ngần ngại hỏi cô nhé!