Chào em! Thầy rất vui được giúp em với bài toán tìm nghiệm nguyên của phương trình \(5x + 3y = 2\). Đây là một dạng bài rất hay và quan trọng trong chương trình Toán lớp 9 của chúng ta. Chúng ta sẽ cùng nhau giải quyết nó một cách chi tiết, từng bước một nhé!

Phương trình này được gọi là phương trình Diophante bậc nhất hai ẩn, và mục tiêu của chúng ta là tìm các cặp số nguyên \((x, y)\) thỏa mãn nó.

Bước 1: Tìm một nghiệm riêng của phương trình

Để bắt đầu, chúng ta cần tìm một cặp số nguyên \((x_0, y_0)\) bất kỳ mà thỏa mãn phương trình đã cho. Thường thì, với những bài toán đơn giản, chúng ta có thể ‘nhẩm’ hoặc thử các giá trị nguyên nhỏ cho \(x\) để tìm ra \(y\) tương ứng.

Hãy thử với \(x = 1\):

\[ 5(1) + 3y = 2 \]
\[ 5 + 3y = 2 \]

Chuyển số 5 sang vế phải:

\[ 3y = 2 – 5 \]
\[ 3y = -3 \]

Chia cả hai vế cho 3:

\[ y = -1 \]

Vậy, ta tìm được một nghiệm nguyên riêng của phương trình là \((x_0, y_0) = (1, -1)\). Em thấy không, việc nhẩm nghiệm đôi khi không quá khó khăn!

Bước 2: Tổng quát hóa nghiệm để tìm công thức nghiệm tổng quát

Bây giờ, chúng ta sẽ dùng nghiệm riêng này để tìm ra công thức tổng quát cho tất cả các nghiệm nguyên khác. Đây là bước quan trọng nhất!

Chúng ta có phương trình ban đầu:

\[ 5x + 3y = 2 \quad (1) \]

Và nghiệm riêng mà chúng ta vừa tìm được thỏa mãn phương trình:

\[ 5(1) + 3(-1) = 2 \quad (2) \]

Trừ vế theo vế phương trình \((1)\) cho phương trình \((2)\). Mục đích của việc trừ này là để loại bỏ hằng số 2 và làm nổi bật mối quan hệ giữa các biến \(x\) và \(y\).

\[ (5x + 3y) – (5(1) + 3(-1)) = 2 – 2 \]

Phân phối và sắp xếp lại các hạng tử:

\[ 5x – 5(1) + 3y – 3(-1) = 0 \]
\[ 5(x – 1) + 3(y + 1) = 0 \]

Di chuyển một hạng tử sang vế bên kia để dễ dàng phân tích mối quan hệ chia hết:

\[ 5(x – 1) = -3(y + 1) \]

Đến đây, em để ý rằng:

• Vế trái \(5(x – 1)\) là một số chia hết cho 5.
• Vế phải \(-3(y + 1)\) là một số chia hết cho 3.

Vì hai vế bằng nhau, nên chúng phải cùng chia hết cho cả 5 và 3. Đặc biệt, ta thấy rằng \(-3(y + 1)\) phải chia hết cho 5.

Điều quan trọng cần nhớ ở đây là: số 5 và số 3 là hai số nguyên tố cùng nhau (nghĩa là ước chung lớn nhất của chúng là 1). Khi có một tích chia hết cho một số, và một thừa số của tích đó lại nguyên tố cùng nhau với số đó, thì thừa số còn lại của tích phải chia hết cho số đó.

Áp dụng tính chất này:

Vì \(-3(y + 1)\) chia hết cho 5, và 3 (hoặc -3) nguyên tố cùng nhau với 5, nên \((y + 1)\) phải chia hết cho 5.

Vậy, ta có thể viết \((y + 1)\) dưới dạng một bội số của 5. Đặt:

\[ y + 1 = 5k \]

với \(k\) là một số nguyên bất kỳ (ký hiệu \(k \in \mathbb{Z}\)).

Thay \(y + 1 = 5k\) vào phương trình \(5(x – 1) = -3(y + 1)\), ta được:

\[ 5(x – 1) = -3(5k) \]
\[ 5(x – 1) = -15k \]

Chia cả hai vế cho 5:

\[ x – 1 = -3k \]

Bây giờ, chúng ta sẽ tìm biểu thức của \(x\) và \(y\) theo \(k\):

Từ \(x – 1 = -3k\), suy ra:

\[ x = -3k + 1 \]

Từ \(y + 1 = 5k\), suy ra:

\[ y = 5k – 1 \]

Tuy nhiên, cách đặt \(y+1=5k\) dẫn đến kết quả này. Nếu em đặt \(x-1=3k\) (cũng hợp lý vì \(5(x-1)\) chia hết cho 3), ta sẽ có kết quả tương đương nhưng với dạng biểu thức khác một chút. Thầy sẽ trình bày theo cách đó, đây là cách thường gặp hơn để đảm bảo dấu đồng nhất:

Quay lại phương trình: \(5(x – 1) = -3(y + 1)\)

Vì \(5(x – 1)\) chia hết cho 3, mà 5 và 3 nguyên tố cùng nhau, nên \((x – 1)\) phải chia hết cho 3. Ta đặt:

\[ x – 1 = 3k \]

với \(k\) là một số nguyên bất kỳ \((k \in \mathbb{Z})\).

Thay \(x – 1 = 3k\) vào phương trình \(5(x – 1) = -3(y + 1)\), ta được:

\[ 5(3k) = -3(y + 1) \]
\[ 15k = -3(y + 1) \]

Chia cả hai vế cho \(-3\):

\[ -5k = y + 1 \]

Từ đó, ta tìm được biểu thức của \(x\) và \(y\) theo \(k\):

Từ \(x – 1 = 3k\), suy ra:

\[ x = 3k + 1 \]

Từ \(y + 1 = -5k\), suy ra:

\[ y = -5k – 1 \]

Kết luận:

Vậy, tất cả các nghiệm nguyên của phương trình \(5x + 3y = 2\) đều có dạng:

\[ \begin{cases} x = 3k + 1 \\ y = -5k – 1 \end{cases} \]

trong đó \(k\) là một số nguyên tùy ý \((k \in \mathbb{Z})\).

Để kiểm tra lại, em có thể thử với vài giá trị của \(k\). Ví dụ:

• Nếu \(k=0\), ta có \(x = 3(0) + 1 = 1\) và \(y = -5(0) – 1 = -1\). Thay vào phương trình: \(5(1) + 3(-1) = 5 – 3 = 2\). Chính xác!
• Nếu \(k=1\), ta có \(x = 3(1) + 1 = 4\) và \(y = -5(1) – 1 = -6\). Thay vào phương trình: \(5(4) + 3(-6) = 20 – 18 = 2\). Hoàn toàn chính xác!
• Nếu \(k=-1\), ta có \(x = 3(-1) + 1 = -2\) và \(y = -5(-1) – 1 = 5 – 1 = 4\). Thay vào phương trình: \(5(-2) + 3(4) = -10 + 12 = 2\). Lại chính xác!

Hy vọng em đã hiểu rõ cách làm bài toán này rồi nhé! Nếu có chỗ nào chưa rõ, đừng ngần ngại hỏi thầy thêm!