tìm nghiệm tự nhiên của phương trình sau
\( x + xy + y = 9 \)
\( x + xy + y = 9 \)
Phân tích bài toán:
Chúng ta cần tìm các cặp số tự nhiên \(x\) và \(y\) thỏa mãn phương trình \(x + xy + y = 9\). Đây là một dạng phương trình nghiệm nguyên, và phương pháp phổ biến ở lớp 8 để giải quyết dạng này là “Phân tích vế trái thành nhân tử”.
Bài giải chi tiết:
Ta có phương trình:
\[ x + xy + y = 9 \]
Bước 1: Nhóm các hạng tử để xuất hiện nhân tử chung.
Chúng ta sẽ nhóm hạng tử \(x\) và \(xy\) lại với nhau.
\[ (x + xy) + y = 9 \]
Ở trong ngoặc, ta thấy có nhân tử chung là \(x\), ta đặt \(x\) ra ngoài:
\[ x(1 + y) + y = 9 \]
Bước 2: Biến đổi để xuất hiện nhân tử chung lần thứ hai.
Ta thấy biểu thức có dạng \(x(1+y)\), và hạng tử còn lại là \(y\). Để xuất hiện nhân tử chung \((1+y)\), ta cần biến đổi hạng tử \(y\) này. Ta sẽ cộng 1 vào cả hai vế của phương trình:
\[ x(1 + y) + y + 1 = 9 + 1 \]
Bây giờ, ta nhóm \((y+1)\) lại:
\[ x(1 + y) + (y + 1) = 10 \]
Bước 3: Phân tích thành nhân tử.
Vế trái của phương trình lúc này đã có nhân tử chung là \((y+1)\). Ta đặt nhân tử chung ra ngoài:
\[ (y + 1)(x + 1) = 10 \]
Bước 4: Lập luận dựa trên điều kiện nghiệm tự nhiên.
Vì \(x\) và \(y\) là các số tự nhiên, nên \(x \ge 0\) và \(y \ge 0\).
Do đó:
\(x + 1 \ge 0 + 1 \Rightarrow x + 1 \ge 1\)
\(y + 1 \ge 0 + 1 \Rightarrow y + 1 \ge 1\)
Như vậy, \(x+1\) và \(y+1\) là các số nguyên dương. Tích của chúng bằng 10, nên chúng phải là các ước nguyên dương của 10.
Các ước nguyên dương của 10 là: \(1, 2, 5, 10\).
Bước 5: Lập bảng xét các trường hợp.
Ta có bảng giá trị sau:
| \(x + 1\) | \(y + 1\) | \(x\) | \(y\) | Kiểm tra |
| 1 | 10 | \(1 – 1 = 0\) | \(10 – 1 = 9\) | Nhận |
| 2 | 5 | \(2 – 1 = 1\) | \(5 – 1 = 4\) | Nhận |
| 5 | 2 | \(5 – 1 = 4\) | \(2 – 1 = 1\) | Nhận |
| 10 | 1 | \(10 – 1 = 9\) | \(1 – 1 = 0\) | Nhận |
Tất cả các giá trị của \(x\) và \(y\) tìm được đều là số tự nhiên, do đó chúng đều là nghiệm của phương trình.
Kết luận:
Vậy, các cặp nghiệm tự nhiên \((x; y)\) của phương trình là:
\[ (0; 9), (1; 4), (4; 1), (9; 0) \]
Các em thấy không, bằng cách biến đổi một chút và sử dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử, chúng ta đã giải quyết bài toán một cách rất gọn gàng. Chúc các em học tốt
Đáp án: \(\left( x;y \right)=\left( 0;9 \right),\left( 9;0 \right),\left( 1;4 \right),\left( 4;1 \right)\)
Giải thích các bước giải:
\(x+xy+y=9\,\,\,\left( x,y\in \mathbb{N} \right)\)
\(\to x+xy+y+1=10\)
\(\to x\left( y+1 \right)+\left( y+1 \right)=10\)
\(\to \left( x+1 \right)\left( y+1 \right)=10=1.10=2.5\)
Có 4 trường hợp:
\(\bullet \,\,\,x+1=1\) và \(y+1=10\)
\(\to x=0\) và \(y=9\)
\(\bullet \,\,\,x+1=10\) và \(y+1=1\)
\(\to x=9\) và \(y=0\)
\(\bullet \,\,\,x+1=2\) và \(y+1=5\)
\(\to x=1\) và \(y=4\)
\(\bullet \,\,\,x+1=5\) và \(y+1=2\)
\(\to x=4\) và \(y=1\)
Vậy \(\left( x;y \right)=\left( 0;9 \right),\left( 9;0 \right),\left( 1;4 \right),\left( 4;1 \right)\)