Tìm nguyên hàm 1/(√X^2+3)
Chúng ta cần tìm nguyên hàm của hàm số dưới dấu tích phân là 1 trên căn bậc hai của (x bình phương cộng 3).
Bước 1: Nhận dạng dạng toán.
Hàm số dưới dấu tích phân có dạng \( \frac{1}{\sqrt{x^2 + a^2}} \) với \( a^2 = 3 \). Đây là một dạng nguyên hàm cơ bản trong chương trình Lượng giác hóa hoặc sử dụng công thức trực tiếp.
Bước 2: Áp dụng công thức nguyên hàm cơ bản.
Trong chương trình Toán lớp 12, chúng ta có một công thức quen thuộc cho dạng này, đó là:
\[ \int \frac{1}{\sqrt{x^2 + a^2}} \, dx = \ln\left|x + \sqrt{x^2 + a^2}\right| + C \]
Lý do chúng ta áp dụng công thức này là vì nó đã được chứng minh và cung cấp sẵn trong sách giáo khoa, giúp chúng ta giải quyết nhanh chóng dạng toán này mà không cần thực hiện các phép biến đổi phức tạp như đổi biến số hoặc tích phân từng phần.
Bước 3: Thay giá trị của ‘a’ vào công thức.
Trong bài toán của chúng ta, \( a^2 = 3 \), suy ra \( a = \sqrt{3} \).
Thay \( a = \sqrt{3} \) vào công thức đã nêu, ta được:
\[ \int \frac{1}{\sqrt{x^2 + 3}} \, dx = \ln\left|x + \sqrt{x^2 + 3}\right| + C \]
Bước 4: Kết luận.
Vậy, nguyên hàm của hàm số \( \frac{1}{\sqrt{x^2 + 3}} \) là \( \ln\left|x + \sqrt{x^2 + 3}\right| + C \).
Các em thấy không, với việc nắm vững các công thức cơ bản, chúng ta có thể giải quyết bài toán một cách nhanh chóng và chính xác. Hãy cùng nhau luyện tập thêm nhiều bài tập tương tự để làm quen với các dạng toán này nhé!
Đáp án + giải thích các bước giải:
\(I=1/\sqrt{x^2+3}dx\)
Đặt \(x=\sqrt{3}tant->dx=\sqrt{3}(dt)/(cos^2t)\)
\(->\sqrt{x^2+3}=\sqrt{3tan^2t+3}=\sqrt{3}/cost\)
\(->I=\int 1/(\sqrt{3}/cost) \sqrt{3}(dt)/(cos^2t)=\int 1/cost dt \)
\(=\int (1/cost(1/cost+tant))/(1/cost+tant)dt\)
\(=\int(1/cos^2t+tant/cost)/(1/cost+tant)dt\)
\(=\int 1/(1/cost+tant)d(1/cost+tant)\)
\(=ln|1/cost+tant|+C\)
\(1/cost=\sqrt{1+tan^2t}=\sqrt{1+x^2/3}=\sqrt{(x^2+3)/3}\)
\(->I=ln|\sqrt{(x^2+3)/3}+x/\sqrt{3}|+C\)
\(=ln|\sqrt{x^2+3}+x|+C\)
\(\int \frac{1}{\sqrt{x^2 + 3}} dx \)
\(\int \frac{1}{\sqrt{x^2 + 3}} dx = \int \frac{1}{\sqrt{3} \sec(t)} \cdot \sqrt{3} \sec^2(t) dt = \int \sec(t) dt\)
\(\int \sec(t) dt = \ln|\sec(t) + \tan(t)| + C\)
Vậy
\(\int \frac{1}{\sqrt{x^2 + 3}} dx = \ln\left|\frac{\sqrt{x^2 + 3}}{\sqrt{3}} + \frac{x}{\sqrt{3}}\right| + C = \ln\left|\sqrt{x^2 + 3} + x\right| – \ln(\sqrt{3}) + C\)
\(\int \frac{1}{\sqrt{x^2 + 3}} dx = \ln\left|\sqrt{x^2 + 3} + x\right| + C\)