Chào các em học sinh yêu quý!

Thầy rất vui khi được cùng các em khám phá bài toán tìm nguyên hàm này. Đây là một bài toán kinh điển nhưng lại rất thú vị, đòi hỏi chúng ta phải vận dụng linh hoạt các công thức lượng giác và phương pháp đổi biến số mà chúng ta đã học trong chương trình Toán 12 mới.

Chúng ta cần tìm nguyên hàm của \(\frac{1}{\sin x}\).

\[ I = \int \frac{1}{\sin x} dx \]

Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng một kỹ thuật biến đổi lượng giác khéo léo kết hợp với phương pháp đổi biến số.

Các bước giải chi tiết:

Bước 1: Biến đổi biểu thức dưới dấu nguyên hàm bằng công thức lượng giác.

Chúng ta có công thức góc kép của sin: \(\sin x = 2 \sin\left(\frac{x}{2}\right) \cos\left(\frac{x}{2}\right)\).

Lý do: Mục tiêu của chúng ta là đưa biểu thức về dạng có chứa \(\tan\left(\frac{x}{2}\right)\) và đạo hàm của nó, vì đây là một phương pháp hiệu quả cho các nguyên hàm chứa \(\sin x\) hoặc \(\cos x\) ở mẫu số.

Khi đó, biểu thức sẽ trở thành:

\[ \frac{1}{\sin x} = \frac{1}{2 \sin\left(\frac{x}{2}\right) \cos\left(\frac{x}{2}\right)} \]

Bước 2: Chia cả tử và mẫu cho \(\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)\) để tạo ra \(\tan\left(\frac{x}{2}\right)\) và \(\sec^2\left(\frac{x}{2}\right)\).

\[ \frac{1}{2 \sin\left(\frac{x}{2}\right) \cos\left(\frac{x}{2}\right)} = \frac{\frac{1}{\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)}}{2 \frac{\sin\left(\frac{x}{2}\right) \cos\left(\frac{x}{2}\right)}{\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)}} \]

Lý do: Chúng ta biết rằng \(\frac{1}{\cos^2 u} = \sec^2 u\) và \(\frac{\sin u}{\cos u} = \tan u\). Việc biến đổi như vậy sẽ giúp chúng ta có được \(\tan\left(\frac{x}{2}\right)\) ở mẫu và đạo hàm của nó, \(\sec^2\left(\frac{x}{2}\right)\), ở tử số (sau khi nhân với một hằng số).

Tiếp tục biến đổi, ta được:

\[ = \frac{\sec^2\left(\frac{x}{2}\right)}{2 \tan\left(\frac{x}{2}\right)} \]

Vậy, nguyên hàm cần tìm trở thành:

\[ I = \int \frac{\sec^2\left(\frac{x}{2}\right)}{2 \tan\left(\frac{x}{2}\right)} dx \]

Bước 3: Thực hiện phép đổi biến số.

Đặt \(u = \tan\left(\frac{x}{2}\right)\).

Lý do: Đây là lúc chúng ta áp dụng phương pháp đổi biến số. Khi đặt \(u\) là một hàm số, chúng ta hy vọng đạo hàm của \(u\) sẽ xuất hiện trong biểu thức nguyên hàm, giúp đơn giản hóa bài toán về một nguyên hàm cơ bản hơn.

Tìm vi phân \(du\):

\[ du = \left( \tan\left(\frac{x}{2}\right) \right)’ dx \]

Nhớ lại rằng đạo hàm của \(\tan(ax)\) là \(a \sec^2(ax)\). Áp dụng vào đây với \(a = \frac{1}{2}\):

\[ du = \frac{1}{2} \sec^2\left(\frac{x}{2}\right) dx \]

Từ đây, ta suy ra \(\sec^2\left(\frac{x}{2}\right) dx = 2 du\).

Bước 4: Thay thế vào nguyên hàm và tính toán.

Bây giờ, chúng ta thay \(u\) và \(du\) vào biểu thức nguyên hàm \(I\):

\[ I = \int \frac{2 du}{2u} = \int \frac{1}{u} du \]

Lý do: Chúng ta đã đưa nguyên hàm phức tạp ban đầu về một dạng nguyên hàm cơ bản mà chúng ta đã học: nguyên hàm của \(\frac{1}{u}\).

Nguyên hàm của \(\frac{1}{u}\) là \(\ln|u| + C\).

\[ I = \ln|u| + C \]

Bước 5: Thay ngược biến \(u\) về \(\tan\left(\frac{x}{2}\right)\).

\[ I = \ln\left|\tan\left(\frac{x}{2}\right)\right| + C \]

Lý do: Sau khi tính nguyên hàm theo biến mới \(u\), chúng ta cần trả kết quả về biến ban đầu \(x\) để hoàn thành bài toán.

Vậy, nguyên hàm của \(\frac{1}{\sin x}\) là \(\ln\left|\tan\left(\frac{x}{2}\right)\right| + C\).

Lưu ý thêm:

Các em cũng có thể thấy công thức nguyên hàm này được viết dưới dạng \(\ln\left|\csc x – \cot x\right| + C\). Hai công thức này thực chất là tương đương nhau (chỉ khác nhau một hằng số), được chứng minh bằng các phép biến đổi lượng giác.

Cụ thể:

\[ \left|\csc x – \cot x\right| = \left|\frac{1}{\sin x} – \frac{\cos x}{\sin x}\right| = \left|\frac{1 – \cos x}{\sin x}\right| \]

Sử dụng công thức hạ bậc: \(1 – \cos x = 2 \sin^2\left(\frac{x}{2}\right)\) và công thức góc kép: \(\sin x = 2 \sin\left(\frac{x}{2}\right) \cos\left(\frac{x}{2}\right)\).

\[ = \left|\frac{2 \sin^2\left(\frac{x}{2}\right)}{2 \sin\left(\frac{x}{2}\right) \cos\left(\frac{x}{2}\right)}\right| = \left|\frac{\sin\left(\frac{x}{2}\right)}{\cos\left(\frac{x}{2}\right)}\right| = \left|\tan\left(\frac{x}{2}\right)\right| \]

Do đó, \(\ln\left|\csc x – \cot x\right| + C = \ln\left|\tan\left(\frac{x}{2}\right)\right| + C\). Cả hai đều là đáp án chính xác.

Chúc các em học tốt và vận dụng linh hoạt các kiến thức đã học vào giải quyết các bài toán nhé!