Chào các em học sinh yêu quý của thầy! Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau chinh phục một bài tập về nguyên hàm, một chủ đề quan trọng trong chương trình Toán lớp 12. Thầy sẽ hướng dẫn các em từng bước thật chi tiết, giống như chúng ta đang ở trên lớp vậy.

Bài tập của chúng ta là tìm nguyên hàm của hàm số \( \frac{1}{(3x-1)^2} \) dx.

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp đổi biến số. Đây là một kỹ thuật rất hữu ích khi gặp các biểu thức phức tạp bên trong hàm số mà chúng ta cần lấy nguyên hàm.

Bước 1: Đặt ẩn phụ

Chúng ta thấy trong mẫu số có biểu thức \( (3x-1) \). Đây chính là phần “phức tạp” mà chúng ta có thể đặt làm ẩn phụ để đơn giản hóa bài toán.

Đặt \( t = 3x – 1 \).

Bước 2: Tính vi phân của ẩn phụ

Bây giờ, chúng ta cần tìm vi phân của \( t \) theo \( x \). Chúng ta sẽ lấy đạo hàm của \( t \) theo \( x \) rồi nhân với \( dx \).

Ta có đạo hàm của \( t \) theo \( x \) là: \( \frac{dt}{dx} = \frac{d}{dx}(3x – 1) = 3 \).

Từ đó, ta có \( dt = 3 \, dx \).

Bước 3: Biểu diễn \( dx \) theo \( dt \)

Từ \( dt = 3 \, dx \), chúng ta có thể suy ra \( dx = \frac{1}{3} dt \).

Bước 4: Thay thế vào biểu thức ban đầu

Bây giờ, chúng ta sẽ thay thế \( 3x – 1 \) bằng \( t \) và \( dx \) bằng \( \frac{1}{3} dt \) vào biểu thức cần tìm nguyên hàm.

Biểu thức ban đầu là: \( \int \frac{1}{(3x-1)^2} \, dx \)

Thay thế vào, ta được: \( \int \frac{1}{t^2} \cdot \frac{1}{3} \, dt \)

Bước 5: Đưa hằng số ra ngoài dấu tích phân

Trong biểu thức mới, \( \frac{1}{3} \) là một hằng số, chúng ta có thể đưa nó ra ngoài dấu tích phân.

Ta được: \( \frac{1}{3} \int \frac{1}{t^2} \, dt \)

Bước 6: Viết lại dưới dạng lũy thừa

Để dễ dàng tính nguyên hàm, chúng ta sẽ viết \( \frac{1}{t^2} \) dưới dạng lũy thừa.

\( \frac{1}{t^2} = t^{-2} \)

Vậy, biểu thức trở thành: \( \frac{1}{3} \int t^{-2} \, dt \)

Bước 7: Áp dụng công thức nguyên hàm cơ bản

Bây giờ, chúng ta áp dụng công thức nguyên hàm cơ bản cho hàm lũy thừa: \( \int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \) (với \( n \neq -1 \)).

Trong trường hợp của chúng ta, \( n = -2 \).

Vậy, nguyên hàm của \( t^{-2} \) là: \( \frac{t^{-2+1}}{-2+1} = \frac{t^{-1}}{-1} = -t^{-1} = -\frac{1}{t} \)

Bước 8: Thay hằng số và kết quả nguyên hàm vào

Kết hợp với hằng số \( \frac{1}{3} \) chúng ta đã đưa ra ngoài, ta có:

\( \frac{1}{3} \left( -\frac{1}{t} \right) + C \)

\( = -\frac{1}{3t} + C \)

Bước 9: Thay \( t \) trở lại bằng biểu thức ban đầu

Cuối cùng, chúng ta thay \( t \) trở lại bằng \( 3x – 1 \) để có kết quả theo biến \( x \).

\( -\frac{1}{3(3x-1)} + C \)

Vậy, nguyên hàm của hàm số \( \frac{1}{(3x-1)^2} \) dx là \( -\frac{1}{3(3x-1)} + C \).

Tổng kết lại các bước:

1. Đặt \( t = 3x – 1 \).
2. Tính \( dt = 3 \, dx \).
3. Suy ra \( dx = \frac{1}{3} dt \).
4. Thay vào biểu thức: \( \int \frac{1}{t^2} \cdot \frac{1}{3} \, dt \).
5. Đưa hằng số ra ngoài: \( \frac{1}{3} \int t^{-2} \, dt \).
6. Áp dụng công thức nguyên hàm: \( \frac{1}{3} \left( -\frac{1}{t} \right) + C \).
7. Đơn giản hóa và thay \( t \) trở lại: \( -\frac{1}{3(3x-1)} + C \).

Hy vọng với cách trình bày chi tiết này, các em đã hiểu rõ cách tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số. Nếu có bất kỳ câu hỏi nào, đừng ngần ngại hỏi thầy nhé!