Chào các em học sinh thân mến! Cô rất vui được hướng dẫn các em giải bài tập này, một dạng toán thường gặp trong chương trình Toán 11. Để tìm số nghiệm của phương trình trên đường tròn lượng giác, chúng ta sẽ cần áp dụng các công thức biến đổi lượng giác và kỹ năng giải phương trình cơ bản nhé.

Chúng ta sẽ đi qua từng bước một để giải quyết bài toán này một cách chi tiết và dễ hiểu nhất.

Phương trình cần giải:

\[ \cos x + \cos 2x + \cos 3x = 0 \]

Bước 1: Nhóm các hạng tử thích hợp và áp dụng công thức biến đổi tổng thành tích.

Để đơn giản hóa phương trình, chúng ta nhận thấy rằng nếu nhóm \( \cos x \) và \( \cos 3x \), chúng ta có thể sử dụng công thức tổng thành tích để xuất hiện một nhân tử chung là \( \cos 2x \).

Công thức tổng thành tích cho cosin là:

\[ \cos A + \cos B = 2 \cos \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2} \]

Áp dụng công thức này với \( A = 3x \) và \( B = x \), ta có:

\[ \cos 3x + \cos x = 2 \cos \frac{3x+x}{2} \cos \frac{3x-x}{2} \]
\[ = 2 \cos \frac{4x}{2} \cos \frac{2x}{2} \]
\[ = 2 \cos 2x \cos x \]

Thay kết quả này trở lại phương trình ban đầu, ta được:

\[ (2 \cos 2x \cos x) + \cos 2x = 0 \]

Bước 2: Phân tích nhân tử chung.

Từ phương trình trên, chúng ta thấy có nhân tử chung là \( \cos 2x \). Ta sẽ đặt \( \cos 2x \) ra ngoài làm nhân tử chung.

\[ \cos 2x (2 \cos x + 1) = 0 \]

Bước 3: Chia thành các trường hợp và giải các phương trình cơ bản.

Một tích bằng 0 khi và chỉ khi ít nhất một trong các nhân tử bằng 0. Do đó, chúng ta có hai trường hợp cần xét:

Trường hợp 1: \( \cos 2x = 0 \)

Đây là phương trình lượng giác cơ bản. Giá trị của cosin bằng 0 tại các điểm có dạng \( \frac{\pi}{2} + k\pi \), với \( k \) là số nguyên.

\[ 2x = \frac{\pi}{2} + k\pi \]

Chia cả hai vế cho 2, ta được:

\[ x = \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2} \]

Bây giờ, chúng ta cần tìm các nghiệm nằm trên đường tròn lượng giác, tức là trong khoảng \( [0, 2\pi) \). Ta sẽ cho \( k \) nhận các giá trị nguyên thích hợp:

• Với \( k = 0 \): \( x = \frac{\pi}{4} \)
• Với \( k = 1 \): \( x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{4} \)
• Với \( k = 2 \): \( x = \frac{\pi}{4} + \pi = \frac{5\pi}{4} \)
• Với \( k = 3 \): \( x = \frac{\pi}{4} + \frac{3\pi}{2} = \frac{7\pi}{4} \)
• Với \( k = 4 \): \( x = \frac{\pi}{4} + 2\pi \) (Giá trị này lớn hơn \( 2\pi \), nên không lấy)

Vậy, trong trường hợp này, chúng ta có 4 nghiệm phân biệt là: \( \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}, \frac{7\pi}{4} \).

Trường hợp 2: \( 2 \cos x + 1 = 0 \)

Chuyển vế và chia, ta được:

\[ \cos x = -\frac{1}{2} \]

Đây cũng là một phương trình lượng giác cơ bản. Chúng ta biết rằng \( \cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} \). Vì \( \cos x \) âm, các nghiệm sẽ nằm ở góc phần tư thứ II và thứ III.

Các giá trị của \( x \) thỏa mãn \( \cos x = -\frac{1}{2} \) có dạng:

\[ x = \frac{2\pi}{3} + k2\pi \quad \text{hoặc} \quad x = -\frac{2\pi}{3} + k2\pi \]

Với \( k \) là số nguyên. Bây giờ, chúng ta sẽ tìm các nghiệm nằm trong khoảng \( [0, 2\pi) \):

• Với \( x = \frac{2\pi}{3} + k2\pi \):
  • Với \( k = 0 \): \( x = \frac{2\pi}{3} \)
  • Với \( k = 1 \): \( x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi \) (Giá trị này lớn hơn \( 2\pi \), nên không lấy)
• Với \( x = -\frac{2\pi}{3} + k2\pi \):
  • Với \( k = 0 \): \( x = -\frac{2\pi}{3} \) (Giá trị này âm, nên không lấy)
  • Với \( k = 1 \): \( x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi = \frac{4\pi}{3} \)
  • Với \( k = 2 \): \( x = -\frac{2\pi}{3} + 4\pi \) (Giá trị này lớn hơn \( 2\pi \), nên không lấy)

Vậy, trong trường hợp này, chúng ta có 2 nghiệm phân biệt là: \( \frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3} \).

Bước 4: Tổng hợp và đếm số nghiệm phân biệt.

Tổng hợp các nghiệm từ cả hai trường hợp:

• Từ Trường hợp 1: \( \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}, \frac{7\pi}{4} \)
• Từ Trường hợp 2: \( \frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3} \)

Chúng ta cần kiểm tra xem có nghiệm nào trùng nhau giữa hai trường hợp này không. Các giá trị trong Trường hợp 1 là các bội của \( \frac{\pi}{4} \), còn các giá trị trong Trường hợp 2 là các bội của \( \frac{\pi}{3} \). Rõ ràng các nghiệm này là khác nhau, không có nghiệm nào trùng lặp.

Tổng số nghiệm phân biệt trên đường tròn lượng giác là: 4 (từ trường hợp 1) + 2 (từ trường hợp 2) = 6 nghiệm.

Vậy, số điểm cuối trên đường tròn lượng giác thỏa mãn phương trình là 6.

Đáp án: Chọn A. 6

Hy vọng qua lời giải chi tiết này, các em đã nắm rõ cách giải và hiểu được các bước làm bài. Chúc các em học tốt!