Chào các em học sinh lớp 6 yêu quý! Hôm nay, cô trò mình sẽ cùng nhau chinh phục một bài toán thú vị về số nguyên tố nhé. Bài toán yêu cầu chúng ta tìm các số nguyên tố \(x\) và \(y\) thỏa mãn phương trình:

\(x^2 + 165 = y^2\)

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng bước một, dựa vào kiến thức đã học.

Bước 1: Biến đổi phương trình về dạng hiệu hai bình phương.

Chúng ta thấy rằng phương trình có dạng \(x^2\) và \(y^2\). Cô trò mình có thể đưa số 165 sang vế bên phải để tạo thành hiệu hai bình phương.

\(165 = y^2 – x^2\)

Các em còn nhớ hằng đẳng thức hiệu hai bình phương không nào? Đó là:

\[ a^2 – b^2 = (a – b)(a + b) \]

Áp dụng hằng đẳng thức này vào phương trình của chúng ta, ta có:

\[ 165 = (y – x)(y + x) \]

Bước 2: Phân tích số 165 thành các thừa số.

Bây giờ, chúng ta cần tìm các cặp thừa số của số 165.
Ta có: 165 chia hết cho 5.
\(165 = 5 \times 33\)
Số 33 lại chia hết cho 3.
\(33 = 3 \times 11\)
Vậy, ta có thể phân tích 165 thành các thừa số nguyên tố là 3, 5, và 11.

Các cặp thừa số của 165 có thể là:
1. 1 và 165
2. 3 và 55
3. 5 và 33
4. 11 và 15

Bước 3: Lập hệ phương trình dựa trên các cặp thừa số.

Vì \(x\) và \(y\) là các số nguyên tố, nên \(x\) và \(y\) phải là các số nguyên dương. Do đó, \(y + x\) sẽ luôn lớn hơn \(y – x\). Đồng thời, \(y + x\) và \(y – x\) phải cùng tính chẵn lẻ, vì tích của chúng là 165 (là số lẻ). Để tích là số lẻ thì cả hai thừa số phải là số lẻ. Tất cả các thừa số trong các cặp ta tìm được đều là số lẻ, nên điều kiện này được thỏa mãn.

Bây giờ, chúng ta sẽ xét từng cặp thừa số, đặt:
\(y – x = a\)
\(y + x = b\)
trong đó \(a \times b = 165\) và \(b > a\).

Trường hợp 1: \(y – x = 1\) và \(y + x = 165\)
Đây là một hệ phương trình. Để tìm \(y\) và \(x\), chúng ta cộng hai phương trình vế theo vế:
\((y – x) + (y + x) = 1 + 165\)
\(2y = 166\)
\(y = 166 / 2\)
\(y = 83\)

Sau khi tìm được \(y\), ta thay vào một trong hai phương trình để tìm \(x\). Thay vào phương trình \(y – x = 1\):
\(83 – x = 1\)
\(x = 83 – 1\)
\(x = 82\)

Bây giờ, chúng ta cần kiểm tra xem \(x\) và \(y\) có phải là số nguyên tố hay không.
\(y = 83\). Số 83 chỉ chia hết cho 1 và chính nó, nên 83 là số nguyên tố.
\(x = 82\). Số 82 chia hết cho 2 (vì tận cùng là 2), nên 82 không phải là số nguyên tố.
Vậy, trường hợp này không cho ta cặp số nguyên tố thỏa mãn yêu cầu.

Trường hợp 2: \(y – x = 3\) và \(y + x = 55\)
Cộng hai phương trình vế theo vế:
\((y – x) + (y + x) = 3 + 55\)
\(2y = 58\)
\(y = 58 / 2\)
\(y = 29\)

Thay \(y = 29\) vào phương trình \(y – x = 3\):
\(29 – x = 3\)
\(x = 29 – 3\)
\(x = 26\)

Kiểm tra:
\(y = 29\). Số 29 chỉ chia hết cho 1 và chính nó, nên 29 là số nguyên tố.
\(x = 26\). Số 26 chia hết cho 2, nên 26 không phải là số nguyên tố.
Vậy, trường hợp này cũng không cho ta cặp số nguyên tố thỏa mãn.

Trường hợp 3: \(y – x = 5\) và \(y + x = 33\)
Cộng hai phương trình vế theo vế:
\((y – x) + (y + x) = 5 + 33\)
\(2y = 38\)
\(y = 38 / 2\)
\(y = 19\)

Thay \(y = 19\) vào phương trình \(y – x = 5\):
\(19 – x = 5\)
\(x = 19 – 5\)
\(x = 14\)

Kiểm tra:
\(y = 19\). Số 19 chỉ chia hết cho 1 và chính nó, nên 19 là số nguyên tố.
\(x = 14\). Số 14 chia hết cho 2, nên 14 không phải là số nguyên tố.
Vậy, trường hợp này cũng không cho ta cặp số nguyên tố thỏa mãn.

Trường hợp 4: \(y – x = 11\) và \(y + x = 15\)
Cộng hai phương trình vế theo vế:
\((y – x) + (y + x) = 11 + 15\)
\(2y = 26\)
\(y = 26 / 2\)
\(y = 13\)

Thay \(y = 13\) vào phương trình \(y – x = 11\):
\(13 – x = 11\)
\(x = 13 – 11\)
\(x = 2\)

Kiểm tra:
\(y = 13\). Số 13 chỉ chia hết cho 1 và chính nó, nên 13 là số nguyên tố.
\(x = 2\). Số 2 chỉ chia hết cho 1 và chính nó, nên 2 là số nguyên tố.
Vậy, trường hợp này cho ta cặp số nguyên tố \(x = 2\) và \(y = 13\) thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Bước 4: Kiểm tra lại kết quả.

Chúng ta thay \(x = 2\) và \(y = 13\) vào phương trình ban đầu:
\(x^2 + 165 = y^2\)
\(2^2 + 165 = 13^2\)
\(4 + 165 = 169\)
\(169 = 169\)
Vế trái bằng vế phải, vậy kết quả này là đúng.

Kết luận:

Vậy, cặp số nguyên tố \(x, y\) thỏa mãn \(x^2 + 165 = y^2\) là \(x = 2\) và \(y = 13\).

Các em thấy đấy, chỉ cần vận dụng kiến thức về hằng đẳng thức và tính chất của số nguyên tố, chúng ta đã giải quyết được bài toán này một cách dễ dàng. Cô mong các em luôn giữ vững niềm đam mê với môn Toán nhé!