Chào các em học sinh thân yêu của thầy! Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau chinh phục một dạng bài tập rất quen thuộc trong chương trình Toán lớp 6, đó là bài toán tìm số tự nhiên thỏa mãn điều kiện chia hết. Các em hãy mở sách giáo khoa trang 76 ra nhé, chúng ta sẽ cùng xem xét câu a và câu b.

Câu a: Tìm số tự nhiên n sao cho 2n + 9 chia hết cho n – 3

Để giải bài toán này, thầy sẽ hướng dẫn các em từng bước một, theo đúng những gì chúng ta đã học.

Bước 1: Biểu diễn phép chia dưới dạng ký hiệu

Chúng ta có điều kiện “2n + 9 chia hết cho n – 3”. Điều này có nghĩa là khi ta lấy 2n + 9 chia cho n – 3 thì phép chia này phải có dư bằng 0. Chúng ta có thể viết lại điều kiện này như sau:
(2n + 9) \(\vdots\) (n – 3)

Bước 2: Phân tích biểu thức bị chia để xuất hiện biểu thức chia

Mục tiêu của chúng ta là làm sao để “lôi” được (n – 3) ra khỏi biểu thức 2n + 9. Các em còn nhớ tính chất của phép chia hết: Nếu a \(\vdots\) b thì k.a \(\vdots\) b với k là một số nguyên nào đó.

Ở đây, chúng ta có (2n + 9) và (n – 3). Để xuất hiện 2n từ (n – 3), chúng ta có thể nhân (n – 3) với 2.
Ta có: 2 * (n – 3) = 2n – 6

Bây giờ, chúng ta sẽ biến đổi biểu thức 2n + 9 sao cho xuất hiện 2n – 6.
2n + 9 = (2n – 6) + 15

Bước 3: Áp dụng tính chất của phép chia hết

Chúng ta có điều kiện: (2n + 9) \(\vdots\) (n – 3)
Thay thế 2n + 9 bằng (2n – 6) + 15, ta được:
(2n – 6) + 15 \(\vdots\) (n – 3)

Vì chúng ta đã biết 2 * (n – 3) = 2n – 6, nên rõ ràng (2n – 6) \(\vdots\) (n – 3) (vì nó là bội của n – 3).

Bây giờ, ta có một tính chất quan trọng khác của phép chia hết: Nếu a + b \(\vdots\) c và a \(\vdots\) c thì suy ra b \(\vdots\) c.
Áp dụng vào bài toán của chúng ta:
Nếu (2n – 6) + 15 \(\vdots\) (n – 3) và (2n – 6) \(\vdots\) (n – 3)
Thì suy ra 15 \(\vdots\) (n – 3)

Bước 4: Tìm các ước của số còn lại và lập luận

Điều kiện bây giờ đã đơn giản hơn rất nhiều: 15 chia hết cho (n – 3).
Điều này có nghĩa là (n – 3) phải là một ước của 15.

Chúng ta cần tìm các ước của 15. Các ước của 15 là: 1, 3, 5, 15.
Vì n là số tự nhiên, nên n – 3 cũng phải là một số mà từ đó ta có thể tìm được n là số tự nhiên.

Chúng ta sẽ xét từng trường hợp:
Trường hợp 1: n – 3 = 1
=> n = 1 + 3 = 4
Kiểm tra: 2 * 4 + 9 = 8 + 9 = 17. 4 – 3 = 1. 17 chia hết cho 1. (Thỏa mãn)

Trường hợp 2: n – 3 = 3
=> n = 3 + 3 = 6
Kiểm tra: 2 * 6 + 9 = 12 + 9 = 21. 6 – 3 = 3. 21 chia hết cho 3. (Thỏa mãn)

Trường hợp 3: n – 3 = 5
=> n = 5 + 3 = 8
Kiểm tra: 2 * 8 + 9 = 16 + 9 = 25. 8 – 3 = 5. 25 chia hết cho 5. (Thỏa mãn)

Trường hợp 4: n – 3 = 15
=> n = 15 + 3 = 18
Kiểm tra: 2 * 18 + 9 = 36 + 9 = 45. 18 – 3 = 15. 45 chia hết cho 15. (Thỏa mãn)

Vậy, các giá trị của n thỏa mãn yêu cầu bài toán là 4, 6, 8, 18.

Kết luận câu a: Các số tự nhiên n thỏa mãn yêu cầu là n \(\in\) {4, 6, 8, 18}.

—

Câu b: Tìm số tự nhiên n sao cho 3n – 1 chia hết cho 3 – 2n

Tương tự như câu a, chúng ta sẽ thực hiện từng bước.

Bước 1: Biểu diễn phép chia dưới dạng ký hiệu

Ta có: (3n – 1) \(\vdots\) (3 – 2n)

Bước 2: Phân tích biểu thức bị chia để xuất hiện biểu thức chia

Ở đây, biểu thức chia là (3 – 2n). Biểu thức bị chia là (3n – 1).
Để “lôi” được (3 – 2n) ra khỏi (3n – 1), chúng ta có thể nhân (3 – 2n) với một số thích hợp.

Quan sát hệ số của n: ở số bị chia là 3, ở số chia là -2.
Chúng ta cần tìm hai số nguyên a, b sao cho a(3n – 1) + b(3 – 2n) = 0 hoặc một hằng số.
Cách đơn giản hơn là chúng ta có thể nhân cả hai vế của điều kiện ban đầu với một số để tạo ra hệ số n giống nhau.
Ví dụ: Nhân (3n – 1) với 2 và (3 – 2n) với 3.
2 * (3n – 1) = 6n – 2
3 * (3 – 2n) = 9 – 6n

Bây giờ, chúng ta sẽ cộng hai biểu thức này lại:
(6n – 2) + (9 – 6n) = 6n – 2 + 9 – 6n = 7

Điều này cho thấy:
Nếu (3n – 1) \(\vdots\) (3 – 2n)
Thì 2 * (3n – 1) \(\vdots\) (3 – 2n)
Và 3 * (3 – 2n) \(\vdots\) (3 – 2n)

Do đó:
[2 (3n – 1)] + [3 (3 – 2n)] \(\vdots\) (3 – 2n)
(6n – 2) + (9 – 6n) \(\vdots\) (3 – 2n)
7 \(\vdots\) (3 – 2n)

Bước 3: Tìm các ước của số còn lại và lập luận

Chúng ta có điều kiện: 7 chia hết cho (3 – 2n).
Điều này có nghĩa là (3 – 2n) phải là một ước của 7.

Các ước của 7 là: 1, -1, 7, -7.

Bây giờ, chúng ta xét từng trường hợp, đồng thời lưu ý rằng n là số tự nhiên.

Trường hợp 1: 3 – 2n = 1
=> 2n = 3 – 1 = 2
=> n = 2 / 2 = 1
Kiểm tra: 3 1 – 1 = 3 – 1 = 2. 3 – 2 1 = 3 – 2 = 1. 2 chia hết cho 1. (Thỏa mãn)

Trường hợp 2: 3 – 2n = -1
=> 2n = 3 – (-1) = 3 + 1 = 4
=> n = 4 / 2 = 2
Kiểm tra: 3 2 – 1 = 6 – 1 = 5. 3 – 2 2 = 3 – 4 = -1. 5 chia hết cho -1. (Thỏa mãn)

Trường hợp 3: 3 – 2n = 7
=> 2n = 3 – 7 = -4
=> n = -4 / 2 = -2
Vì n là số tự nhiên, nên trường hợp này loại.

Trường hợp 4: 3 – 2n = -7
=> 2n = 3 – (-7) = 3 + 7 = 10
=> n = 10 / 2 = 5
Kiểm tra: 3 5 – 1 = 15 – 1 = 14. 3 – 2 5 = 3 – 10 = -7. 14 chia hết cho -7. (Thỏa mãn)

Kết luận câu b: Các số tự nhiên n thỏa mãn yêu cầu là n \(\in\) {1, 2, 5}.

Thầy hy vọng với cách trình bày chi tiết từng bước như thế này, các em đã hiểu rõ hơn về phương pháp giải dạng toán này. Các em hãy ôn tập kỹ và thử sức với các bài tập tương tự trong sách giáo khoa và sách bài tập nhé! Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, đừng ngần ngại hỏi thầy. Chúc các em học tốt!