Chào các em học sinh thân mến! Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán tìm số tự nhiên rất thú vị, bài toán yêu cầu chúng ta tìm số tự nhiên n sao cho n + 1 là ước của 2n + 7.

Chúng ta cùng nhau phân tích đề bài một chút nhé. Đề bài cho biết “n + 1 là ước của 2n + 7”. Theo định nghĩa về ước, điều này có nghĩa là 2n + 7 chia hết cho n + 1. Chúng ta có thể biểu diễn điều này bằng ký hiệu toán học như sau:

(2n + 7) ⋮ (n + 1)

Bây giờ, chúng ta sẽ sử dụng những kiến thức đã học để biến đổi biểu thức 2n + 7 sao cho nó xuất hiện yếu tố (n + 1), để chúng ta có thể dễ dàng suy luận hơn.

Chúng ta biết rằng nếu a chia hết cho b, thì k nhân a cũng chia hết cho b, với k là một số nguyên bất kỳ. Ở đây, chúng ta có (2n + 7) chia hết cho (n + 1). Chúng ta hãy thử nhân (n + 1) với một số nào đó để nó gần với 2n + 7. Số 2 có vẻ hợp lý nhất, vì nó sẽ cho chúng ta 2n.

Ta xét biểu thức 2 * (n + 1).
2 * (n + 1) = 2n + 2

Bây giờ, chúng ta có 2n + 7 và 2n + 2. Chúng ta nhận thấy 2n + 7 hơn 2n + 2 là bao nhiêu?

2n + 7 – (2n + 2) = 2n + 7 – 2n – 2 = 5

Điều này có nghĩa là:
2n + 7 = 2(n + 1) + 5

Vì chúng ta biết rằng (2n + 7) ⋮ (n + 1), và chúng ta vừa biểu diễn 2n + 7 dưới dạng 2(n + 1) + 5, nên chúng ta có:

[2(n + 1) + 5] ⋮ (n + 1)

Chúng ta cũng biết rằng 2(n + 1) luôn chia hết cho (n + 1) vì nó là bội của (n + 1).
Do đó, để toàn bộ biểu thức [2(n + 1) + 5] chia hết cho (n + 1), thì phần còn lại là 5 cũng phải chia hết cho (n + 1).

Nói cách khác, (n + 1) phải là ước của 5.

Bây giờ, chúng ta cần tìm các ước của số 5. Các ước tự nhiên của 5 là: 1 và 5.

Vì n là số tự nhiên, nên n ≥ 0.
Do đó, n + 1 phải là một số tự nhiên lớn hơn hoặc bằng 1. Cả 1 và 5 đều thỏa mãn điều kiện này.

Chúng ta có hai trường hợp xảy ra:

Trường hợp 1: n + 1 = 1
Nếu n + 1 = 1, thì n = 1 – 1 = 0.
Kiểm tra lại: Nếu n = 0, thì n + 1 = 1 và 2n + 7 = 2(0) + 7 = 7. Số 1 là ước của số 7. Vậy n = 0 thỏa mãn.

Trường hợp 2: n + 1 = 5
Nếu n + 1 = 5, thì n = 5 – 1 = 4.
Kiểm tra lại: Nếu n = 4, thì n + 1 = 5 và 2n + 7 = 2(4) + 7 = 8 + 7 = 15. Số 5 là ước của số 15. Vậy n = 4 thỏa mãn.

Vậy, có hai giá trị của n thỏa mãn yêu cầu đề bài là n = 0 và n = 4.

Tóm lại các bước giải như sau:
1. Phân tích đề bài, hiểu yêu cầu “n + 1 là ước của 2n + 7” có nghĩa là (2n + 7) ⋮ (n + 1).
2. Biến đổi biểu thức 2n + 7 sao cho xuất hiện thừa số (n + 1). Ta có 2n + 7 = 2(n + 1) + 5.
3. Từ (2n + 7) ⋮ (n + 1) và 2n + 7 = 2(n + 1) + 5, suy ra 5 ⋮ (n + 1).
4. Tìm các ước tự nhiên của 5, đó là 1 và 5.
5. Lập các phương trình: n + 1 = 1 và n + 1 = 5.
6. Giải các phương trình để tìm n.
7. Kiểm tra lại các giá trị của n tìm được.

Các giá trị của n tìm được là 0 và 4.

Chúc các em học tốt!