Chào các em, hôm nay cô trò mình sẽ cùng nhau tìm hiểu một bài tập rất thú vị liên quan đến số nguyên tố và các phép biến đổi đại số nhé. Bài toán của chúng ta là: Tìm số tự nhiên n sao cho n^2 – 1 là số nguyên tố.

Đầu tiên, các em cần nhớ lại khái niệm số nguyên tố. Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1, chỉ có hai ước là 1 và chính nó.

Bây giờ, chúng ta sẽ phân tích biểu thức n^2 – 1. Các em có nhận ra đây là dạng của một hằng đẳng thức quen thuộc không? Đúng rồi, đó là “hiệu hai bình phương”.

Ta có công thức: \(a^2 – b^2 = (a – b)(a + b)\).

Áp dụng vào bài toán, ta có:
\(n^2 – 1 = n^2 – 1^2 = (n – 1)(n + 1)\).

Vậy, để \(n^2 – 1\) là một số nguyên tố, thì một trong hai thừa số \((n – 1)\) hoặc \((n + 1)\) phải bằng 1, và thừa số còn lại phải là số nguyên tố đó.

Chúng ta xét các trường hợp có thể xảy ra:

Trường hợp 1: \(n – 1 = 1\)
Nếu \(n – 1 = 1\), suy ra \(n = 1 + 1 = 2\).
Khi đó, \(n + 1 = 2 + 1 = 3\).
Ta tính giá trị của \(n^2 – 1\): \(2^2 – 1 = 4 – 1 = 3\).
Số 3 là một số nguyên tố.
Vậy, \(n = 2\) là một giá trị thỏa mãn yêu cầu của đề bài.

Trường hợp 2: \(n + 1 = 1\)
Nếu \(n + 1 = 1\), suy ra \(n = 1 – 1 = 0\).
Tuy nhiên, đề bài yêu cầu tìm số tự nhiên n. Số 0 là số tự nhiên, nhưng chúng ta cần kiểm tra xem \(n^2 – 1\) có phải là số nguyên tố khi n = 0 hay không.
Khi n = 0, \(n^2 – 1 = 0^2 – 1 = -1\).
Số -1 không phải là số nguyên tố (số nguyên tố phải lớn hơn 1).
Vì vậy, trường hợp này không thỏa mãn.

Bây giờ, chúng ta xem xét đến điều kiện của n là số tự nhiên.
Nếu \(n\) là số tự nhiên, thì \(n \ge 0\).
Ta có \(n – 1\) và \(n + 1\).
Vì \(n\) là số tự nhiên, nên \(n + 1\) luôn lớn hơn hoặc bằng 1.
Nếu \(n = 0\), thì \(n – 1 = -1\) và \(n + 1 = 1\). Tích là -1 (không phải số nguyên tố).
Nếu \(n = 1\), thì \(n – 1 = 0\) và \(n + 1 = 2\). Tích là 0 (không phải số nguyên tố).
Nếu \(n > 1\), thì \(n – 1 > 0\) và \(n + 1 > 0\).

Do đó, để tích \((n – 1)(n + 1)\) là một số nguyên tố, thì một trong hai thừa số phải bằng 1.
Chúng ta đã xét hai trường hợp: \(n – 1 = 1\) và \(n + 1 = 1\).
Chỉ có trường hợp \(n – 1 = 1\) cho ta giá trị \(n = 2\) mà \(n^2 – 1 = 3\) là số nguyên tố.

Bây giờ chúng ta cần chứng minh rằng không còn trường hợp nào khác.
Xét \(n > 2\). Khi đó, \(n – 1 > 1\) và \(n + 1 > 1\).
Nếu \(n – 1 > 1\) và \(n + 1 > 1\), thì tích của chúng \((n – 1)(n + 1)\) sẽ là một hợp số, vì nó có ít nhất các ước là 1, \(n – 1\), \(n + 1\) và \((n – 1)(n + 1)\).
Và vì \(n – 1 > 1\), nên nó có ít nhất ba ước phân biệt là 1, \(n-1\) và \((n-1)(n+1)\). Do đó nó không thể là số nguyên tố.

Ví dụ:
Nếu \(n = 3\), thì \(n^2 – 1 = 3^2 – 1 = 9 – 1 = 8\). 8 là hợp số. Ta có \(n-1=2\), \(n+1=4\). \(2 \times 4 = 8\).
Nếu \(n = 4\), thì \(n^2 – 1 = 4^2 – 1 = 16 – 1 = 15\). 15 là hợp số. Ta có \(n-1=3\), \(n+1=5\). \(3 \times 5 = 15\).

Vậy, trường hợp duy nhất thỏa mãn đề bài là khi \(n – 1 = 1\), tức là \(n = 2\).

Kết luận: Số tự nhiên n cần tìm là 2.

Các em có chỗ nào chưa hiểu không? Chúng ta đã sử dụng hằng đẳng thức để phân tích biểu thức, sau đó dựa vào định nghĩa số nguyên tố để lập luận và tìm ra giá trị duy nhất của n. Bài toán này rất hay ở chỗ nó kết hợp kiến thức đại số và số học.