Chào các em học sinh thân mến! Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau chinh phục một bài toán tìm tập giá trị của hàm số lượng giác. Đây là một dạng bài rất quen thuộc và quan trọng trong chương trình Toán lớp 11 của chúng ta. Các em hãy chú ý theo dõi từng bước thầy trình bày nhé.

Bài toán yêu cầu chúng ta tìm tập giá trị của hàm số \(y=(2sinx-cosx+1)/(sinx+cosx-2)\).

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ và khảo sát một tam thức bậc hai.

Bước 1: Đặt điều kiện xác định cho mẫu số.

Hàm số xác định khi mẫu số khác 0.
Vậy, ta cần \(sinx+cosx-2 \neq 0\).

Chúng ta sẽ xét phương trình \(sinx+cosx-2 = 0\).
Đây là dạng phương trình \(asinx + bcosx = c\). Ta có thể đưa về dạng \(Rsin(x+\alpha) = c\).
Ở đây, \(a=1, b=1\). Ta tính \(R = \sqrt{a^2+b^2} = \sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2}\).
Ta có \(\cos\alpha = \frac{a}{R} = \frac{1}{\sqrt{2}}\) và \(\sin\alpha = \frac{b}{R} = \frac{1}{\sqrt{2}}\).
Chọn \(\alpha = \frac{\pi}{4}\).
Vậy, \(sinx+cosx = \sqrt{2}sin(x+\frac{\pi}{4})\).

Phương trình trở thành \(\sqrt{2}sin(x+\frac{\pi}{4}) – 2 = 0\).
\(\sqrt{2}sin(x+\frac{\pi}{4}) = 2\)
\(sin(x+\frac{\pi}{4}) = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}\).

Vì \(\sqrt{2} > 1\), phương trình \(sin(x+\frac{\pi}{4}) = \sqrt{2}\) vô nghiệm.
Điều này có nghĩa là mẫu số \(sinx+cosx-2\) luôn khác 0 với mọi \(x\).
Vậy, hàm số đã cho xác định với mọi \(x \in \mathbb{R}\).

Bước 2: Biến đổi và đặt ẩn phụ.

Từ biểu thức của hàm số, ta có:
\(y = \frac{2sinx-cosx+1}{sinx+cosx-2}\)

Nhân chéo, ta được:
\(y(sinx+cosx-2) = 2sinx-cosx+1\)
\(ysinx + ycosx – 2y = 2sinx – cosx + 1\)

Chuyển các số hạng chứa sinx và cosx về một vế, các số hạng tự do về vế còn lại:
\(ysinx – 2sinx + ycosx + cosx = 2y + 1\)
\((y-2)sinx + (y+1)cosx = 2y+1\)

Đây là một phương trình lượng giác theo biến x. Để phương trình này có nghiệm, ta cần áp dụng điều kiện để phương trình \(Asin\theta + Bcos\theta = C\) có nghiệm, đó là \(A^2 + B^2 \geq C^2\).

Trong trường hợp này, \(A = y-2\), \(B = y+1\), và \(C = 2y+1\).
Ta có điều kiện:
\((y-2)^2 + (y+1)^2 \geq (2y+1)^2\)

Bước 3: Giải bất phương trình theo y.

Khai triển và rút gọn bất phương trình:
\((y^2 – 4y + 4) + (y^2 + 2y + 1) \geq (4y^2 + 4y + 1)\)
\(2y^2 – 2y + 5 \geq 4y^2 + 4y + 1\)

Chuyển tất cả các số hạng sang một vế để được bất phương trình bậc hai:
\(0 \geq 4y^2 – 2y^2 + 4y + 2y + 1 – 5\)
\(0 \geq 2y^2 + 6y – 4\)

Chia cả hai vế cho 2 (vì 2 > 0 nên chiều của bất phương trình không đổi):
\(0 \geq y^2 + 3y – 2\)
Hay
\(y^2 + 3y – 2 \leq 0\)

Bây giờ, chúng ta cần tìm nghiệm của bất phương trình bậc hai này.
Xét phương trình \(y^2 + 3y – 2 = 0\).
Ta tính delta: \(\Delta = b^2 – 4ac = 3^2 – 4(1)(-2) = 9 + 8 = 17\).
Phương trình có hai nghiệm phân biệt là:
\(y_1 = \frac{-b – \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-3 – \sqrt{17}}{2}\)
\(y_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-3 + \sqrt{17}}{2}\)

Vì đây là bất phương trình \(y^2 + 3y – 2 \leq 0\), với hệ số của \(y^2\) là \(1 > 0\), nên parabol có bề lõm quay lên trên. Bất phương trình \( \leq 0 \) sẽ đúng với các giá trị của y nằm giữa hai nghiệm.
Do đó, tập giá trị của y là:
\[ \frac{-3 – \sqrt{17}}{2} \leq y \leq \frac{-3 + \sqrt{17}}{2} \]

Bước 4: Kiểm tra lại các trường hợp đặc biệt (nếu có).

Trong bài toán này, chúng ta đã xét điều kiện \(A^2 + B^2 \geq C^2\). Điều này đảm bảo rằng phương trình lượng giác \((y-2)sinx + (y+1)cosx = 2y+1\) có nghiệm. Tuy nhiên, chúng ta cần lưu ý một trường hợp có thể xảy ra là khi \(y-2=0\) và \(y+1=0\) cùng lúc.
Nếu \(y-2 = 0\), thì \(y=2\).
Nếu \(y+1 = 0\), thì \(y=-1\).
Hai điều kiện này không thể đồng thời xảy ra, nên ta không gặp phải trường hợp đặc biệt này.

Ngoài ra, chúng ta cần xem xét kỹ khi \(A=0\) và \(B=0\). Nếu \(A=0\) và \(B=0\), thì phương trình trở thành \(0=C\).
Trong trường hợp của chúng ta, \(A=y-2\) và \(B=y+1\).
Nếu \(y-2=0\) tức là \(y=2\), thì \(B = 2+1 = 3 \neq 0\).
Nếu \(y+1=0\) tức là \(y=-1\), thì \(A = -1-2 = -3 \neq 0\).
Vậy, \(A\) và \(B\) không thể đồng thời bằng 0.

Khi \(y=2\), phương trình trở thành \((2-2)sinx + (2+1)cosx = 2(2)+1\), tức là \(3cosx = 5\), hay \(cosx = 5/3\). Phương trình này vô nghiệm vì \(|cosx| \leq 1\).
Vậy, giá trị \(y=2\) không thuộc tập giá trị của hàm số.
Chúng ta kiểm tra xem \(y=2\) có nằm trong khoảng ta tìm được ở Bước 3 không.
\(\frac{-3 – \sqrt{17}}{2} \approx \frac{-3 – 4.12}{2} \approx -3.56\)
\(\frac{-3 + \sqrt{17}}{2} \approx \frac{-3 + 4.12}{2} \approx 0.56\)
Giá trị \(y=2\) không nằm trong khoảng \([-3.56, 0.56]\). Điều này hoàn toàn phù hợp.

Kết luận:

Tập giá trị của hàm số đã cho là đoạn \([\frac{-3 – \sqrt{17}}{2}, \frac{-3 + \sqrt{17}}{2}]\).

Vậy, chúng ta đã tìm được tập giá trị của hàm số bằng cách sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ và điều kiện có nghiệm của phương trình lượng giác. Các em về nhà xem lại bài này và thử sức với những bài tương tự nhé. Chúc các em học tốt!