Chào các em học sinh yêu quý của thầy/cô! Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau chinh phục một bài toán rất thú vị liên quan đến chuỗi phân số trong chương trình Toán lớp 6 mới. Bài toán này giúp chúng ta rèn luyện kỹ năng phân tích, biến đổi và áp dụng công thức một cách hiệu quả.

Các em hãy cùng thầy/cô phân tích và giải bài toán sau đây nhé:

Tìm x, biết: 1/3.5 + 1/5.7 + … + 1/x(x+2)=11/75

Thầy/cô thấy rằng đề bài có một quy luật rất đặc trưng ở mẫu số của các phân số. Đó là tích của hai số lẻ liên tiếp và hiệu giữa hai thừa số này luôn là 2. Cụ thể, 5-3=2, 7-5=2, và ở số hạng cuối cùng là (x+2) – x = 2. Đây chính là dấu hiệu để chúng ta nghĩ đến phương pháp tách phân số.

Bước 1: Nhận dạng quy luật và áp dụng công thức tách phân số

Chúng ta có công thức tổng quát cho dạng phân số này là:
\[ \frac{1}{a(a+d)} = \frac{1}{d} \left( \frac{1}{a} – \frac{1}{a+d} \right) \]
Trong trường hợp bài toán của chúng ta, \(d=2\). Vì vậy, chúng ta có thể viết lại công thức như sau:
\[ \frac{1}{a(a+2)} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{a} – \frac{1}{a+2} \right) \]

Áp dụng công thức này cho từng số hạng trong chuỗi đã cho:

* Số hạng đầu tiên: \( \frac{1}{3 \times 5} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{3} – \frac{1}{5} \right) \)
* Số hạng thứ hai: \( \frac{1}{5 \times 7} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{5} – \frac{1}{7} \right) \)
* …
* Số hạng cuối cùng: \( \frac{1}{x(x+2)} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{x} – \frac{1}{x+2} \right) \)

Bước 2: Viết lại tổng dưới dạng chuỗi các hiệu

Khi thay thế từng số hạng bằng công thức tách phân số, ta sẽ có:
\( \frac{1}{2} \left( \frac{1}{3} – \frac{1}{5} \right) + \frac{1}{2} \left( \frac{1}{5} – \frac{1}{7} \right) + … + \frac{1}{2} \left( \frac{1}{x} – \frac{1}{x+2} \right) = \frac{11}{75} \)

Chúng ta có thể đặt \( \frac{1}{2} \) ra làm thừa số chung:
\( \frac{1}{2} \left[ \left( \frac{1}{3} – \frac{1}{5} \right) + \left( \frac{1}{5} – \frac{1}{7} \right) + … + \left( \frac{1}{x} – \frac{1}{x+2} \right) \right] = \frac{11}{75} \)

Quan sát phần trong dấu ngoặc vuông, các em sẽ thấy hiệu ứng “rút gọn” (telescoping sum). Số hạng \( – \frac{1}{5} \) sẽ triệt tiêu với \( + \frac{1}{5} \), số hạng \( – \frac{1}{7} \) sẽ triệt tiêu với \( + \frac{1}{7} \), cứ như vậy cho đến hết. Chỉ còn lại số hạng đầu tiên của hiệu đầu tiên và số hạng thứ hai của hiệu cuối cùng.

Do đó, phần trong dấu ngoặc vuông sẽ còn lại là: \( \frac{1}{3} – \frac{1}{x+2} \)

Thay vào phương trình ban đầu, ta có:
\( \frac{1}{2} \left( \frac{1}{3} – \frac{1}{x+2} \right) = \frac{11}{75} \)

Bước 3: Giải phương trình tìm x

Bây giờ, chúng ta sẽ giải phương trình này để tìm x.

Nhân cả hai vế của phương trình với 2:
\( \frac{1}{3} – \frac{1}{x+2} = \frac{11}{75} \times 2 \)
\( \frac{1}{3} – \frac{1}{x+2} = \frac{22}{75} \)

Chuyển \( \frac{1}{x+2} \) sang một vế và các số hạng còn lại sang vế kia:
\( \frac{1}{3} – \frac{22}{75} = \frac{1}{x+2} \)

Để thực hiện phép trừ, chúng ta cần quy đồng mẫu số. Mẫu số chung nhỏ nhất của 3 và 75 là 75.
\( \frac{1 \times 25}{3 \times 25} – \frac{22}{75} = \frac{1}{x+2} \)
\( \frac{25}{75} – \frac{22}{75} = \frac{1}{x+2} \)
\( \frac{25 – 22}{75} = \frac{1}{x+2} \)
\( \frac{3}{75} = \frac{1}{x+2} \)

Rút gọn phân số \( \frac{3}{75} \):
\( \frac{1}{25} = \frac{1}{x+2} \)

Khi hai phân số có tử số bằng nhau (và khác 0), thì mẫu số của chúng cũng phải bằng nhau.
\( 25 = x+2 \)

Cuối cùng, tìm x:
\( x = 25 – 2 \)
\( x = 23 \)

Bước 4: Kiểm tra lại kết quả (Tùy chọn nhưng nên làm)

Để chắc chắn, chúng ta có thể thử lại giá trị \( x=23 \) vào biểu thức ban đầu. Tuy nhiên, việc tính toán lại toàn bộ chuỗi có thể mất thời gian. Thay vào đó, chúng ta kiểm tra xem giá trị cuối cùng của chuỗi có đúng với \( \frac{1}{3} – \frac{1}{23+2} = \frac{1}{3} – \frac{1}{25} \) hay không.
\( \frac{1}{3} – \frac{1}{25} = \frac{25}{75} – \frac{3}{75} = \frac{22}{75} \).
Sau đó, nhân với \( \frac{1}{2} \) ta được \( \frac{1}{2} \times \frac{22}{75} = \frac{11}{75} \). Kết quả khớp với đề bài.

Vậy, giá trị của x là 23.

Thầy/cô hy vọng qua bài tập này, các em đã nắm vững cách áp dụng phương pháp tách phân số để giải các bài toán về chuỗi. Hãy luyện tập thêm các dạng bài tương tự để củng cố kiến thức nhé! Chúc các em học tốt!