Chào các em! Hôm nay, cô trò mình sẽ cùng nhau chinh phục một bài toán khá thú vị về phương trình chứa lũy thừa bậc ba. Các em hãy chú ý quan sát và ghi chép đầy đủ nhé.

Bài toán của chúng ta là: Tìm x, biết (2X-5)^3 + (2-x)^3 + (3-x)^3 = 0

Trước hết, cô nhận thấy rằng đây là một phương trình có dạng tổng của ba lập phương bằng không. Liệu có công thức nào liên quan đến dạng này không nhỉ?

Chúng ta có công thức khai triển lập phương của một tổng:
(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3

Tuy nhiên, việc khai triển trực tiếp ba biểu thức lập phương này sẽ rất phức tạp. Cô có một gợi ý nhỏ. Các em hãy thử đặt các biểu thức trong ngoặc lần lượt là a, b, c.

Đặt:
a = 2x – 5
b = 2 – x
c = 3 – x

Bây giờ, cô trò mình hãy xem xét tổng của ba biểu thức này: a + b + c.
a + b + c = (2x – 5) + (2 – x) + (3 – x)
a + b + c = 2x – 5 + 2 – x + 3 – x
a + b + c = (2x – x – x) + (-5 + 2 + 3)
a + b + c = 0x + 0
a + b + c = 0

Ồ, thật tuyệt vời! Chúng ta có a + b + c = 0.
Khi tổng của ba số bằng 0, tức là a + b + c = 0, thì chúng ta có một tính chất rất quan trọng: nếu a + b + c = 0 thì a^3 + b^3 + c^3 = 3abc.

Các em có thể tự mình chứng minh điều này. Cô sẽ gợi ý nhé:
Nếu a + b + c = 0, suy ra c = -(a + b).
Khi đó:
a^3 + b^3 + c^3 = a^3 + b^3 + [-(a+b)]^3
= a^3 + b^3 – (a+b)^3
= a^3 + b^3 – (a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3)
= a^3 + b^3 – a^3 – 3a^2b – 3ab^2 – b^3
= -3a^2b – 3ab^2
= -3ab(a + b)
Vì c = -(a + b), nên a + b = -c.
Do đó, a^3 + b^3 + c^3 = -3ab(-c) = 3abc.

Áp dụng tính chất này vào bài toán của chúng ta:
Vì (2x – 5) + (2 – x) + (3 – x) = 0, nên ta có:
(2x – 5)^3 + (2 – x)^3 + (3 – x)^3 = 3 (2x – 5) (2 – x) * (3 – x)

Đề bài cho (2x – 5)^3 + (2 – x)^3 + (3 – x)^3 = 0.
Do đó, ta có phương trình mới:
3 (2x – 5) (2 – x) * (3 – x) = 0

Đây là một phương trình tích. Một tích bằng 0 khi và chỉ khi ít nhất một trong các thừa số bằng 0.
Vậy, chúng ta sẽ có ba trường hợp:

Trường hợp 1: 2x – 5 = 0
2x = 5
x = 5/2

Trường hợp 2: 2 – x = 0
x = 2

Trường hợp 3: 3 – x = 0
x = 3

Vậy, phương trình đã cho có ba nghiệm là x = 5/2, x = 2, và x = 3.

Các em có thể thử lại bằng cách thay các giá trị x này vào phương trình ban đầu để kiểm tra.

Ví dụ, với x = 2:
(2*2 – 5)^3 + (2 – 2)^3 + (3 – 2)^3
= (4 – 5)^3 + 0^3 + 1^3
= (-1)^3 + 0 + 1
= -1 + 0 + 1 = 0 (Thỏa mãn)

Với x = 3:
(2*3 – 5)^3 + (2 – 3)^3 + (3 – 3)^3
= (6 – 5)^3 + (-1)^3 + 0^3
= 1^3 + (-1) + 0
= 1 – 1 + 0 = 0 (Thỏa mãn)

Với x = 5/2:
(2*(5/2) – 5)^3 + (2 – 5/2)^3 + (3 – 5/2)^3
= (5 – 5)^3 + (4/2 – 5/2)^3 + (6/2 – 5/2)^3
= 0^3 + (-1/2)^3 + (1/2)^3
= 0 – 1/8 + 1/8 = 0 (Thỏa mãn)

Bài học hôm nay đã giúp chúng ta vận dụng một tính chất quan trọng của lũy thừa bậc ba khi tổng các cơ số bằng 0. Các em về nhà luyện tập thêm các dạng bài tương tự nhé. Có em nào còn thắc mắc gì không?